Двумерные случайные величины

Вектор , координаты которого есть случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называется случайным вектором, а функция  называется функцией распределения вероятности случайного вектора  или двумерной случайной величины .

   Если координаты вектора  – дискретные случайные величины, то  называют дискретным случайным вектором.

   Закон распределения дискретной двумерной случайной величины  представляет собой таблицу

			…
			…
			…
…	…	…	…	…

где  Так же как и для одномерной дискретной случайной величины должно выполняться условие нормировки .

   Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения составляющих, то есть случайных величин  и . Для этого достаточно просуммировать вероятности по строкам и по столбцам соответственно. Знание законов распределения составляющих позволяет найти числовые характеристики составляющих, а также их корреляционный момент.

Если функцию распределения вероятности вектора  можно представить в виде , то случайную величину  называют непрерывной двумерной случайной величиной, а  – ее плотностью распределения вероятности.

Свойства функции и плотности распределения вероятности

1) .

2) .

3) 0.

4) .

5) , , где  и  – функции распределения  вероятности случайных величин  и .

6) В любой точке непрерывности функции , .

7) .

8) .

9) .

10) , ,

где  и  – плотности распределения случайных величин  и .

   Условной плотностью распределения случайной величины  при условии, что  называют функцию ,  

Аналогично определяют ,

   Равенство  называют теоремой умножения плотностей вероятности.

   Случайные величины  и  называются независимыми, если для любых чисел ,  случайные события  и  независимы (см. стр.12).

Случайные величины независимы, если выполняется любое из условий:

.

 или .

  Для двумерных случайных величин вводят понятия начальных и центральных моментов, из которых наиболее часто используются математические ожидания ,  и дисперсии ,  составляющих, а также условные математические ожидания и корреляционный момент.

Условным математическим ожиданием для дискретного случайного вектора называется сумма:

Для двумерных непрерывных случайных величин условным математическим ожиданием называется интеграл:

Величина  называется корреляционным моментом (ковариацией) двух случайных величин  и .

Если  – непрерывная двумерная случайная величина с плотностью распределения , то

,

где .

Для дискретного случайного вектора

.

Величина  называется коэффициентом корреляции случайных величин  и .

Если , то случайные величины  и  называются некоррелированными.

Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции

1) .

2) Если  и  независимы, то . Обратное неверно: из некоррелируемости случайных величин не следует их независимость.

3) Если , то

4) .     

5) .

6) .

7) .