Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение обобщает классическое определение вероятности на случай, когда пространство элементарных событий  представляет собой подмножество пространства .

При этом на прямой будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, то есть подмножества, которые имеют длину, на плоскости – те подмножества, которые имеют площадь и т.д.

Под мерой  множества  будем понимать его длину, площадь или объем, в зависимости от того, к какому пространству принадлежит  или . Будем считать, что , и вероятность попадания случайно брошенной точки в любое подмножество  пропорционально мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы.

В этом случае вероятность считается по формуле:

.

Пример 1. Телефонная линия длиной 2 км, соединяющая пункты  и , порвалась в неизвестном месте. Считая обрыв равновозможным в любой точке линии, найти вероятность того, что обрыв находится не далее чем 450 м от пункта .

Решение. Точка – место обрыва линии может с одинаковой вероятностью занимать любое положение на отрезке длиной 2000 м. Следовательно, множество  непрерывно и его мера равна 2000. Событие , состоящее в том, что обрыв произошел на расстоянии не более 450 от пункта , состоит из точек отрезка длиной 450 м. Следовательно,  и

.

Пример 2.В эллипс с полуосями 2 и 3 наудачу ставится точка. Какова вероятность того, что она попадет во вписанную в эллипс окружность, центр которой совпадает с центром эллипса?

Решение. Точка  может с одинаковой вероятностью занимать любое положение в области, ограниченной эллипсом. Следовательно, множество  может быть записано в виде . . Событие , состоящее в том, что точка попадет в круг, вписанный в эллипс, состоит из точек множества , для которых выполняется условие . . Следовательно,

Пример 3. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке . Найти вероятность того, что произведение координат точек будет больше 0,4.

1. Определяем пространство элементарных событий. Пусть  и  координаты первой и второй точек, выбранных на . Тогда каждый элементарный исход представляется упорядоченной парой  вещественных чисел. Каждой такой паре соответствует точка квадрата  на плоскости XOY. Наоборот, каждой точке  квадрата D соответствуют две точки на отрезке , имеющие координаты  и , то есть некоторый исход случайного эксперимента.

Итак, пространство элементарных событий совпадает с квадратом D. Выбрать две точки отрезка это то же самое, что выбирать одну точку квадрата D.

2. Равновозможность элементарных исходов гарантирована методикой проведения случайного эксперимента, поскольку, как сказано в условии задачи, обе точки выбираются на отрезке наудачу. Соответственно, ни один из участков квадрата D не является более предпочтительным, чем любой другой равный ему по площади участок квадрата D.

3. Нас интересует вероятность события .

Ему соответствует область  (см. рис.1).

Рис. 1

Находим площадь  области . Очевидно, что .

Находим площадь  области . Имеем

.

Согласно геометрическому определению вероятности

.

Ответ. .

Пример 4.Для поражения точечной воздушной цели достаточно разрыва снаряда на расстоянии 10 м от неё. Из-за ошибок прицеливания разрыв снаряда равновозможен в любой точке эллипсоида с центром в точки цели и полуосями 20, 20 и 60 м. Какова вероятность того, что цель будет поражена?

Решение. Точка  может с одинаковой вероятностью занимать любое положение в области, ограниченной эллипсоидом. Следовательно, множество  может быть записано в виде . .

Событие , состоящее в том, что точка попадет в сферу радиуса 10 и состоит из точек множества , для которых выполняется условие . .

Следовательно, .