Формула полной вероятности. Формула Байеса

Формула полной вероятности является формулой, объединяющей теоремы сложения и умножения вероятностей: , где  случайные события  такие, что

и , , , .

Здесь Ø – невозможное событие, – достоверное событие.

 События  часто называют гипотезами (предположениями).

Пример 1. На складе имеется 1000 изделий: 700 из одной партии и 300 из другой. Вероятность брака в первой партии равна 0,06, во второй – 0,04. Какова вероятность того, что одно наудачу взятое изделие окажется бракованным?

Решение. В условии задачи не указано, из какой партии наудачу берется изделие. Поэтому возможны следующие гипотезы (предположения):

– изделие принадлежит первой партии, – изделие принадлежит второй партии.

Вероятности этих гипотез легко найти, используя классическое определение вероятности:

, .

Обозначим через  событие, состоящее в том, что наудачу извлеченное изделие окажется бракованным. Тогда из условия задачи ясно, что

, а .

Следовательно, по формуле полной вероятности

.

Пример 2.По каналу связи, состоящему из передатчика, ретранслятора и приемника передается сигнал, состоящий из символов 0 и 1. Из-за помех символы независимо друг от друга могут искажаться: 0 переходит в 0 с вероятностью 0,96 и в 1 с вероятностью 0,04 на участке передатчик–ретранслятор и 0 переходит в 0 с вероятностью 0,95 и в 1 с вероятностью 0,05 на участке ретранслятор–приемник; 1 переходит в 1 с вероятностью 0,95 и в 0 с вероятностью 0,05 на участке передатчик–ретранслятор и 1 переходит в 1 с вероятностью 0,96 и в 0 с вероятностью 0,04 на участке ретранслятор–приемник. Какова вероятность того, что отправленный передатчиком сигнал 01 будет принят как 01?

Решение. Возможны 16 вариантов передачи сигнала 01, значит, введем в рассмотрение 16 гипотез:

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, ,

, .

Вероятности этих гипотез находятся как вероятности произведения независимых событий:

, .

Аналогично:

, , ,      

,   ,    ,

, , ,

, , ,

, .

Правильность введения гипотез и вычисления их вероятностей можно проконтролировать.

Должно выполняться условие .

Если  – событие, состоящее в том, что приемником будет принят сигнал 01, то

, остальные .

Таким образом, по формуле полной вероятности

Введенные гипотезы  до опыта имеют определенные вероятности (априорные вероятности). Наблюдение результата опыта (появление события ) дает дополнительную информацию о гипотезах. Это приводит к перераспределению вероятностей гипотез.

Послеопытные (апостериорные) вероятности гипотез  могут быть найдены по формуле Байеса

, ,

где  и  – априорные вероятности.

Пример 3. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем первый завод поставляет 30% всех изделий, второй – 20%, а третий – 50%. Среди изделий первого завода 80% первосортных, второго – 90%, третьего – 70%. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что купленное изделие выпущено вторым заводом?

Решение. Так как неизвестно, изделие какого завода куплено, то введем в рассмотрение гипотезы:

– куплено изделие первого завода,

– куплено изделие второго завода,

– куплено изделие третьего завода.

Обозначим через  событие, состоящее в том, что куплено первосортное изделие.

Априорные вероятности гипотез равны , , .

Априорные условные вероятности появления события  при выполнении той или иной гипотезы равны , , .

Апостериорную вероятность того, что купленное первосортное изделие выпущено вторым заводом, найдем по формуле Байеса:

   Пример 4. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 5 черных шаров. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару и переложили в третью (пустую) урну. После этого из третьей урны наудачу извлекли один шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, первоначально находился во второй урне?

   Решение. Так как неизвестно, какие шары находятся в третьей урне, то введем в рассмотрение гипотезы:

–из первой урны переложили в третью урну белый шар,

– из первой урны переложили в третью урну черный шар,

–из второй урны переложили в третью урну белый шар,

– из второй урны переложили в третью урну черный шар,

– в третьей урне находятся белый шар из первой урны и белый шар из второй урны,

– в третьей урне находятся белый шар из первой урны и черный шар из второй урны,

– в третьей урне находятся черный шар из первой урны и белый шар из второй урны,

– в третьей урне находятся черный шар из первой урны и черный шар из второй урны.

Априорные вероятности гипотез найдем, используя классическое определение вероятности и теоремы сложения и умножения вероятностей:

Обозначим через  событие, состоящее в том, что из третьей урны будет извлечен белый шар.

Очевидно, что

, , , .

Тогда, по формуле полной вероятности,

По формуле Байеса

Введём в рассмотрение событие , состоящее в том, что будет извлечен белый шар, первоначально находившийся во второй урне.

Тогда

, , , .

По формуле полной вероятности