Эмпирические функции распределения. Полигон и гистограмма.

Предположим, что имеется выборка  из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). Через Y обозначим случайную величину с рядом распределения (законом распределения)

О. Случайная величина Y называется выборочной или эмпирической. Ряд распределения случайной величины Y называется выборочным или эмпирическим.

О.Эмпирической функцией распределения называется функция распределения выборочной (эмпирической) случайной величины Y. Обозначается эта функция: .  , где  - число выборочных значений

О. Последовательность значений , записанных в возрастающем порядке  где  называется вариационным рядом выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем  наблюдалось  раз, раз, …,  раз и  - объем выборки.

О. Наблюдаемые значения  называют вариантами.

Числа наблюдений  называют частотами, а их отношения к объему выборки  - относительными частотами.

О. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Точечные оценки неизвестных параметров. Несмещенные, состоятельные, эмпирические оценки.

Предположим, что имеется выборка  из генеральной совокупности, закон распределения которой зависит от неизвестного параметра (например, функция распределения  ).

О1. Оценкой или статистикой параметра  называется любая функция  от выборочных значений .

О2. Оценка неизвестного параметра  называется несмещенной, если математическое ожидание .

О3. Оценка  неизвестного параметра  называется состоятельной, если  сходится по вероятности k a ( т.е. для ) .

О4. Несмещенная оценка  неизвестного параметра  называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра .

┐  несмещенная оценка параметра , тогда  эффективна, если

Пример: Предположим, что имеется выборка  из генеральной совокупности с , . Здесь - генеральная средняя,  - генеральная дисперсия.

В качестве оценки возьмем выборочную среднюю . В качестве оценки возьмем выборочную дисперсию . Проверим, насколько хороша оценка :

1. Вывод:  - несмещенная оценка параметра .

Методы получения оценок. Метод моментов.

Пусть  - выборка из генеральной совокупности с функцией распределения , зависящей от неизвестных параметров. Необходимо найти оценки  параметров  .    при больших . Более того, можно рассматривать  как оценку  или  при каждом фиксированном значении . Поскольку  - результаты n испытаний для случайной величины , то в качестве успеха в случайном испытании примем: .

Тогда , где  - число выборочных значений, меньших , т.е. число успехов.  , где ,

. Таким образом, . Следовательно,

1.

При любом фиксированном  является несмещенной оценкой .

2. Проверим состоятельность оценки

т.к. ,