Метод наименьших квадратов.

Выборочное уравнение линейной регрессии можно получить методом наименьших квадратов, если положить, что   , где -некоторая ошибка измерений,  Метод наименьших квадратов или метод Гаусса сводиться к тому, что коэффициенты и нужно искать из того условия, что сумма квадратов ошибок по всем наблюдениям стремится к минимуму, т.е.

→min. Для этого составляется функция F( )= . Берутся частные производные от F( ) по и  и приравниваются к 0.

; ; , т.е. получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными a₀ и a₁. Решив ее, получим уравнение линейной регрессии Y на X вида: .

Распределение хи-квадрат, Стьюдента, Фишера

О.1Случайная величина  , где случайные величины  - независимы и имеют стандартное нормальное распределение (т.е. N(0,1)), называется случайной величиной хи-квадрат с n степенями свободы.

 Обозначим через  - плотность вероятности случайной величины , а через   -функцию распределения случайной величины . На основании этих функций составлена таблица процентных точек распределения . Рассмотрим следующее уравнение: (1) . Решение  в уравнении (1) называется критической точкой распределения , соответствующей уровню значимости  и числу степеней свободы n.

 - процентная точка, соответствующая числу степеней свободы и уровню значимости . О.2.Отношение , где X~N(0,1) -имеет стандартное нормальное распределение, а числитель и знаменатель - независимые CB, называется отношением Стьюдента с n степенями свободы. Обозначим через  плотность вероятности СВ , а через  - функцию распределения случайной величины .

.      (2). Пусть необходимо решить уравнение: , здесь  называется критической (процентной) точкой распределения Стьюдента, соответствующей числу степеней свободы n и уровню значимости . О.3.Отношение , где числитель и знаменатель – независимые СВ, называется F – отношением или отношением Фишера.

Обозначим через  плотность вероятности СВ .

 - называется критической (%-ной) точкой F – распределения, соответствующей числам степеней свободы n₁ и n₂ и уровню значимости .

Интервальные оценки неизвестных параметров(дляMX)

Опр.Случайные величины _н= _н( ) и , являющиеся функциями от выборочных значений, называются соответственно нижним и верхним двусторонними доверительными пределами для неизвестного параметра  с надежностью (коэффициентом доверия, доверительной вероятностью) P (0,5<P<1) (или с уровнем значимости ), если для доверительного интервала вероятность . (1) При этом интервал  называется двусторонним доверительным интервалом для параметра .

Замечание 2. В соотношение (1) случайными являются  и ,  - число. Замечание 3.  Пусть  - точечная оценка параметра . Если  - доверительный интервал. Тогда  - точность интервальной оценки. Предположим, что  - выборка из нормального распределения генеральной совокупности с параметрами . Построить доверительные интервалы для  и . Могут возникнуть 4 случая:

1. Пусть  - известно. Построить ДИ для . Этот ДИ нужно строить при помощи точечной оценки . По следствию из теоремы 1. ~N( ).По лемме о нормал распред. ~N(0,1),  .

 - функция Лапласа.  t – корень уравнения .