Що таке емпірична функція розподілу?

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: n_х - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее x; n - общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота событияX<xравна п_х/п. Если xизменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота п_х/песть функция от х. Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения xотносительную частоту события X<х.

Итак, поопределению,

F*(x)= п_х/п,

где п_х - число вариант, меньших x; п - объем выборки. Таким образом, для того чтобы найти, например, F*(x₂), надо число вариант, меньших x₂,разделить на объем выборки:

F*(x₂)= п_x2/п.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(х)генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x)определяет вероятность события X<x,а эмпирическая функция F*(x)определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X<x, т.е. F*(x) стремится по вероятности к вероятности F(x)этого события. Другими словами, при большихn числа F*(x)и F(x)мало отличаются одно от другого в том смысле, что .Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Такое заключение подтверждается и тем, что F*(x)обладает всеми свойствами F(x). Действительно, из определения функции F* (x)вытекают следующие ее свойства:

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1];

2) F*(x)- неубывающая функция;

3) если x₁- наименьшая варианта, то F*(x) = 0 при x≤x₁; если x_k - наибольшая варианта, то F*(x)=1при x>x_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Які числові характеристики відображають центральну тенденцію? Середня арифметична і її властивості.

Середня арифметична використовується у тому випадку коли сума спостережень має залишатись незміною,якщо кожне з них замінити середньою арифметиною.

X1,x2,…,xn-статистична сукупність

V1,V2,…,Vn -частоти

F1,f2,…,fk - частоти k<n

=(1/n)

=(1/n)

Які числові характеристики відображають мінливість? Поняття коефіцієнта варіації.

коефіцієнт варіації використовується для порівняльної оцінки варіації в розподілах з різними значеннями середньої.

V=( / )*100

Дозволяє визначити наскільки добре середня арифметична представляє все елементи сукупності.Якщо V<33 процента то середнє арифметичне добра представляє всі елементи сукупності, сукупність є однорідною.