Яка оцінка називається ефективною?Яка оцінка називається спроможною?

Эффективной называют статистическую оценку, которая (при заданном объеме выборки n) имеет наименьшую возможную дисперсию.

При рассмотрении выборок большого объема (nвелико!) к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка оказывается и состоятельной.

6. Що називається довірчим інтервалом або інтервальною оцінкою параметра ? Що визначає довірча ймовірність ?

Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше,- точечные. При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Θ* служит оценкой неизвестного параметра Θ. Будем считать Θ постоянным числом (Θ может быть и случайной величиной). Ясно, что Θ* тем точнее определяет параметр Θ, чем меньше абсолютная величина разности |Θ - Θ*|. Другими словами, если δ>0 и |Θ - Θ*|<δ, то чем меньше δ, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число δ характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка Θ * удовлетворяет неравенству |Θ - Θ*|<δ; можно лишь говорить о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью)оценки Θ по Θ* называют вероятностьγ,с которой осуществляется неравенство |Θ - Θ*|<δ. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что |Θ - Θ*|<δ, равна γ:

Р[|Θ - Θ*|<δ]= γ.

Заменив неравенство |Θ - Θ*|<δ равносильным ему двойным неравенством -δ <Θ - Θ*<δ, или Θ*- δ <Θ< Θ* + δ, имеем

Р[Θ* - δ<Θ< Θ* + δ] = γ.

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал(Θ*-δ, Θ*+δ) заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр Θ, равна γ.

Доверительным называют интервал (Θ*-δ, Θ*+δ), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью γ.

7. Запишіть довірчий інтервал для генеральної середньої  якщо відомо величину .

Пусть количественный признак Xгенеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение σ этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожиданиеа по выборочной средней . Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр а с надежностью γ.

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину            (  изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака х₁,x₂, ...,х_n - как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁, Х₂, ...,Х_n(эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение - σ.

Примем без доказательства, что если случайная величина Xраспределена нормально, то выборочная средняя ,найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения таковы (см. гл. VIII, § 9):

M( )=a, .

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Р(|Х - а| < δ) = γ,

где γ- заданная надежность.

Пользуясь формулой (см. гл. XII, § 6)

Р(|Х-а| < δ) = 2Ф(δ/σ),

заменив Xна и σ на , получим

Р(|Х-а|)<δ) = 2Ф(δ ) = 2Ф (t),

где t= δ .

Найдя из последнего равенства , можем написать

Р(| —а | < ) = 2Ф(t).

Приняв во внимание, что вероятность P задана и равна γ,окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через )

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью γможно утверждать, что доверительный интервал( , ) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки .

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что числоt определяется из равенства 2Ф(t) = γ. или Ф(t)= γ /2; по таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находят аргументt, которому соответствует значение функции Лапласа, равное γ /2.

Випадкові процеси