Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади.

СМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА

- статистическая оценка, математич. ожидание к-рой не совпадает с оцениваемой величиной.
Пусть X - случайная величина, принимающая значения в выборочном пространстве и пусть Т=Т (Х) -точечная статистич. оценка функции заданной на параметрич. множестве Предполагается, что математич. ожидание оценки Тсуществует. Если в этих условиях функция

не равна тождественно нулю, т. е. если то Тназ. смещенной оценкой функции а сама функция наз. смещением или систематической ошибкой оценки Т.
Пример. Пусть Х ₁,. .., Х _п - взаимно независимые одинаково нормально распределенные случайные величины и пусть

В таком случае статистика

является С. о. дисперсии так как

т. е. оценка S²_n имеет смещение при этом квадратичный риск этой С. о. равен

Наилучшей несмещенной оценкой параметра является статистика

квадратичный риск к-рой равен
В данном случае при n>2 квадратичный риск С. о. S²_n меньше квадратичного риска наилучшей несмещенной оценки s²_n.
Существуют ситуации, когда несмещенные оценки не существуют. Так, напр., не существует несмещенной оценки для абсолютной величины | а| математич. ожидания анормального закона т. е. для | а| можно построить только С.

3. Які оцінки називаються незміщеними, зміщеними? Наведіть приклади. Чи є вибіркова дисперсія  незміщеною оцінкою генеральної дисперсії ? Який дріб називають поправкою Бесселя?

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака Xгенеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят сводную характеристику - генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией D_г называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Если все значения x₁, х₂, …, x_Nпризнака генеральной совокупности объема N различны, то

.

Если же значения признака x₁, х₂, …, x_kимеют соответственно частоты N₁, N₂,…, N_k,причем N₁+N₂+…+N_k=N, то

,

т.е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная квадратов отклонений с весами, равными соответствующим частотам.

4. Запишіть формулу для обчислення незміщеної оцінки   генеральної дисперсії .

Пусть из генеральной совокупности в результате nнезависимых наблюдений над количественным признаком Xизвлечена повторная выборка объема n:

При этом n₁+ n₂ + ... + n_k= п.

Требуется по данным выборки оценить (приближенно найти) неизвестную генеральную дисперсию D_г. Если в качестве оценки генеральной дисперсии принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение генеральной дисперсии. Объясняется это тем, что, как можно доказать, выборочная дисперсия является смещенной оценкой D_г, другими словами, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой генеральной дисперсии, а равно

.

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить D_вна дробь n/(n-1). Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают через s²:

.

Исправленная дисперсия является, конечно, несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Действительно,

.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию

.

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

.

Подчеркнем, чтоsне является несмещенной оценкой; чтобы отразить этот факт, мы написали и будем писать далее так: «исправленное» среднее квадратическое отклонение.