Закон распределения дискретной двумерной случайной величины.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины обычно записывают в виде таблицы:

Зная закон распределения двумерной случайной величины можно найти закон распределения каждой из составляющих. Например

Интегральная функция распределения двумерной случайной величины.

Свойства интегральной функции распределения:

1.

2. —неубывающая функция по каждому аргументу

3.Имеют место следующие отношения:

4.Если одна составляющая равна , то интегральная функция становится функцией другой составляющей:

Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник

Дифференциальная функция непрерывной двумерной случайной величины

Нахождение интегральной функции по заданной дифференциальной

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область

Свойства дифференциальной функции двумерной случайной величины

1.

2.

Отыскание дифференциальных функций составляющих двумерной случайной величины.

Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину , пусть возможные значения составляющих таковы:

Предположим, что в результате испытания случайная величина Y приняла значение , тогда X может принять одно из своих возможных значений. Обозначим условную вероятность того, что X примет значение  через

Условным распределением случайной величины X при условии, что Y приняла значение  называют совокупность условных вероятностей

Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины можно вычислить условные законы распределения составляющих:

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Условной дифференциальной функцией  составляющей X при условии, что , называют отношение дифференциальной функции системы к дифференциальной функции составляющей Y.

Условное математическое ожидание

Условным математическим ожиданием случайной величины Y при  называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности.

Для непрерывных величин:

Зависимые и независимые случайные величины

Теорема.Для того чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы интегральная функция системы  была равна произведению интегральных функций случайных величин X и Y.

Следствие. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы дифференциальная функция системы  была равна произведению дифференциальных функций случайных величин X и Y.

Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Корреляционным моментом  случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения их отклонений.

Для дискретных величин

Для непрерывных величин

Теорема.Корреляционный момент двух независимых случайных величин равен 0

Коэффициентом корреляции независимых случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.