Нормальное распределение случайной величины.

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается дифференциальной функцией.

Где —среднее квадратическое отклонение, a—математическое ожидание.

Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами a и  ( >0).

Нормированным называют нормальное распределение с параметрами  и

Интегральная функция общего нормального распределения:

Интегральная функция нормированного распределения:

Вероятность попадания нормированной нормальной величины X в интервал  можно найти, пользуясь функцией Лапласа.

Учитывая, что  и в силу симметрии функции относительно 0, получаем

, а значит

Из чего следует, что

Нормальная кривая

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Исследование графика:

1. Функция определена на всей оси x

2. При всех значениях x функция принимает положительные значения.

3. Предел функции при неограниченном возрастании x (по абсолютной величине) равен 0. , т.е. ось Ox служит горизонтальной асимптотой графика.

4.
Следовательно при x=a функция имеет максимум, равный

5. График функции симметричен относительно прямой x=a.

6.
При переходе через точки  функция меняет знак. Таким образом, точки графика  являются точками перегиба.

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.

Изменение величины параметра a не влияет на форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси x (вправо, если a возрастает и влево, если a убывает).

C возрастанием  максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой. При убывании  максимальная ордината нормальной кривой возрастает, а кривая становится более «островершинной».

Вероятность попадания нормальной кривой в заданный интервал.

Если случайная величина X задана дифференциальной функцией, то

Если случайная величина распределена по нормальному закону, то

Введем новую величину . Отсюда , . Найдем новые пределы интегрирования: , . Таким образом, имеем:

Вычисление вероятности заданного отклонения.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положительного числа , т.е. тербуется найти вероятность осуществления неравенства

Правило трех сигм.

Пусть ,тогда

Если t=3, то

Если величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Теорема Ляпунова.

Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.

Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.

Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей.

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения.

Асимметрия положительна, если длинная часть кривой распределения находится справа от математического ожидания. Асимметрия отрицательна, если длинная часть кривой распределения находится слева от математического ожидания.

Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством:

Если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и острую вершину, по сравнению с нормальной кривой.