Биноминальное распределение.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие A может либо проявиться, либо не проявиться. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события A в этих испытаниях.

Возможные значения величины X:

Чтобы найти вероятности можно воспользоваться формулой Бернулли:

Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Распределение Пуассона. 

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых (n велико) редких (p мало) событий.

Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Вероятностный смысл математического ожидания.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина X приняла раз значение , раз значение ,…, раз значение , причем .

Найдем среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания

1.

2.

3.

4.

Теорема.Математическое ожидание M(X) числа появлений события A в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Дисперсия дискретной случайной величины.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. Отклонение имеет следующий закон распределения:

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения дискретной случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия нужна для того, чтобы оценить рассеяние дискретной случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Свойства дисперсии

1.

2.

3.

4.

Теорема.Дисперсия числа появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность события A постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления A в одном испытании.

Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.