Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины.

Дифференциальной функцией распределения f(x) называют первую производную от интегральной функции распределения.

Свойства:

1. Дифференциальная функция неотрицательна.

2. Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах  равен единице.

Теорема. Вероятность того, что случайная величина примет значение X, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от a до b.

Геометрический смысл: Вероятность того, что случайная величина примет значение X, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Х, кривой распределения f(x), и прямыми x=a и x=b;

Замечание. Если f(x) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

Нахождение интегральной функции распределения по известной дифференциальной функции.

Зная дифференциальную функцию распределения f(x) можно найти интегральную функцию F(x) по формуле:

Вероятностный смысл дифференциальной функции распределения.

По определению дифференциальной функции  или

.

Разность  определяет вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала

Итак, дифференциальная функция распределения определяет плотность распределения вероятности для каждой точки x.

Замечание 1.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности вероятности в точке x на длину интервала .

Замечание 2.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу  приближенно равна площади прямоугольника со сторонами  и f(x).

Закон равномерного распределения вероятностей.

Распределение вероятностей называют равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, функция принимает постоянное значение, т.е. .

Пусть Х принимает значения от a до b, тогда

Таким образом, закон равномерного распределения можно записать так:

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат интервалу (a,b) называют определенный интеграл:

Если возможные значения принадлежат всей оси x, то

Дисперсией непрерывной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата ее отклонения:

Для вычисления дисперсии можно использовать также следующие формулы:

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется как квадратный корень из дисперсии: