Функция одного случайного аргумента.

Если каждому значению случайной величины X соответствует единственное значение случайной величины Y, то Y называют функцией одного случайного аргумента X.

Нахождение распределения функции по известному распределению аргумента.

X — дискретная случайная величина.

Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные значения функции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.

Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют значения Y, среди которых есть равные между собой, то следует складывать вероятности повторяющихся значений Y.

X — непрерывная случайная величина.

Если дифференцируемая, строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой , то дифференциальная функция случайной величины Y находится по равенству:

Математическое ожидание функции одного случайного аргумента.

X — дискретная случайная величина.

X — непрерывная случайная величина.

Функция двух случайных аргументов.

Если каждой паре случайных аргументов X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то говорят, что задана функция двух случайных аргументов:

Распределение

Пусть  — независимые нормально распределенные случайные величины ( ). Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону  с  степенями свободы.

Функция распределения:

, где

Распределение Стьюдента

Пусть Z — нормальная случайная величина, причем , , a V — независимая от Z величина, которая распределена по закону  с k степенями свободы. Тогда величина

имеет распределение, которое называют t-распределением, или распределением Стьюдента с k степенями свободы.

Показательное распределение

Показательным называют распределение вероятностей, которое описывается дифференциальной функцией

Где  — постоянная положительная величина.

Примером непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, может служить время между появлениями двух последовательных событий простейшего потока.

Найдем интегральную функцию показательного распределения.

Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

Числовые характеристики показательного распределения.

Пусть непрерывная случайная величина X, распределена по показательному закону:

Найдем математическое ожидание

Получаем, что

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра .

Найдем дисперсию

Получаем, что

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

Система двух случайных величин

Будем обозначать через  двумерную случайную величину. Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой). Обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно образуют систему двух случайных величин.

Различают дискретные (составляющие дискретны) и непрерывные (составляющие непрерывны) многомерные системы случайных величин.