Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Случайные события

Достоверным называют событие, которое произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S либо произойдет, либо нет.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называют единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них есть достоверное событие.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из событий не является более возможным, чем другие.

Вероятностью события A называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех единственно возможных и равновозможных исходов испытания.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний.

Вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после.

В различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произвели испытаний) и колеблется возле некоторого постоянного числа — вероятности.

Принцип практической невозможности маловероятных событий. Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Суммой A+B двух событий A и B называют такое событие, которое состоит в появлении события A или события B, или обоих этих событий.

Суммой нескольких событий называют такое событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Полной группой событий называют совокупность единственно возможных событий испытания.

Теорема. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу событий, равна единице.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из них обозначено A, то другое принято обозначать . Если вероятность одного из них обозначена p, то вероятность другого принято обозначать q.

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

События называют независимыми, если вероятность одного из них не зависит появления или непоявления другого. (При бросании монеты: выпадения герба в двух испытаниях — независимые события).

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимые.

Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащая либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Произведением двух событий A и B называют событие AB, которое состоит в совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называют событие, которое состоит в совместном появлении всех этих событий.

Теорема умножения вероятностей независимых событий.Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий.

Следствие.Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Замечание. Если события  независимы в совокупности, то и события  независимы в совокупности.

Вероятность появления хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .  

Условной вероятностью  называют вероятность события B при условии, что событие A уже наступило.

Теорема умножения.Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Следствие. Вероятность появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили.

Теорема сложения для совместных событий.Вероятность появления хотя бы одного из двух совестных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Формула полной вероятности. Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A.

Формулы Бейеса.

Пусть событие A может наступить при наступлении одного из несовместных событий , образующих полную группу событий. Поскольку заранее неизвестно, какое из событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что событие A наступило. Надо поределить, как изменились вероятности гипотез:

Формула Бернулли.

Необходимо вычислить вероятность того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции.

Функция четная

Интегральная теорема Лапласа.Если вероятность p появления события A в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие A появится в n испытаниях от  до  раз, приближенно равна определенному интегралу

Функция нечетная

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически или графически.

Сумма вероятностей второй строки таблицы равна единице. (События выпадения значений — полная группа событий)

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной случайной величины не зависит от того, какие значения приняла другая величина.

Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие значения приняли остальные величины.

Произведением случайных величин X и Y называется случайная величина, возможные значения которой равны произведению каждого возможного значения величины X на каждое возможное значение величины Y, а вероятности возможных значений произведения XY равны произведению вероятностей множителей.

Суммой случайных величин X и Y называется случайная величина, возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения величины X на каждое возможное значение величины Y, а вероятности возможных значений суммы X+Y для независимых величин равны произведению вероятностей слагаемых, для зависимых величин — произведению вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.