Одинаково распределенные независимые случайные величины.

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , которые имеют одинаковые распределения, а следовательно и одинаковые характеристики.

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через

Математическое ожидание среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию a каждой из величин:

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из величин:

Среднее квадратическое среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в  раз меньше среднего квадратического каждой из величин:

Моменты распределения

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа  не меньше чем :

Теорема Чебышева. Если попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают некоторого постоянного числа C), то, как бы мало не было число , вероятность неравенства

Будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Если , то

Теорема Бернулли.Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико:

Интегральная функция распределения дискретной случайной величины.

Интегральной функцией распределения называют функцию F(x), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньше x.

Свойства интегральной функции

1. Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0..1].

2. F(x) — неубывающая функция.

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b) то

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (a,b) равна приращению интегральной функции на этом интервале.

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.

Следствие 3. Если возможные значения случайной величины расположены по всей числовой оси, то справедливо: