Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события

Пусть по достаточно большому числу п незави­симых испытаний; в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, но неизвестна, найдена относительная частота т/п. Пусть имеются основания предполагать, что неизвестная вероятность равна гипоте­тическому значению р0. Требуется при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетиче­ской вероятности р0.

Поскольку вероятность оценивается по относительной частоте, рассматриваемую задачу можно сформулировать и так: требуется установить, значимо или незначимо раз­личаются наблюдаемая относительная частота и гипоте­тическая вероятность.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

где

Величина V при справедливости нулевой гипотезы распределена приближенно нормально с параметрами .

Пояснение. Доказано (теорема Лапласа), что при достаточно больших значениях n относительная частота имеет приближенно нормальное распределение с матема­тическим ожиданием р и средним квадратическим откло­нением /n. Нормируя относительную частоту (вычи­тая математическое ожидание и деля на среднее квад­ратическое отклонение), получим

'причем М(U) = 0, .

При справедливости нулевой гипотезы, т. е. при р = р0,

Замечание1: Далее набл-мая частота обозн-ся ч/з М/п

правила проверки нулевой гипотезы:

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости проверить нулевую гипотезу H0:р = р0 о равен­стве неизвестной вероятности гипотетической вероятности при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку ыкр по равенству .

Если |Uнабл|<uкр—нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу

Если | Uнабл 1>uкр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе H1:р>р0 находят критическую точку правосторонней критической области по равенству Ф(uкр) = (1—2а)/2.

Если |Uнабл|<uкр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если|Uнабл|>uкр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе H1:р< р0 находят критическую точку uкр по правилу 2, а затем полагают границу левосторонней критической области

Uкр =-uкр

Если|Uнабл|<uкр—нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если |Uнабл|>uкр—нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 2. Удовлетворительные результаты обеспечивает выполнение неравенства np0q0>9