Уравнение постоянства расхода для установившегося движения жидкости

Это уравнение является частным случаем закона сохранения массы. Для его вывода выделим в движущейся несжимаемой жидкости (ρ=const) элементарную струйку (рис.8)

Рис 8

За промежуток времени dtчерезсечениеd в нее втекает масса жидкости , а вытекает . Так как через боковые поверхности притока или оттока жидкости не происходит, то

.

В связи с тем, что сечения струйки выбраны произвольно, можно записать, сокращая на dt:

. (7.1)

Произведение udtвыражает собой элементарный расход, т.е. количество жидкости, выраженное в объёмных единицах, протекающее через поперечное сечение струйки в единицу времени. Обозначим его черезq, т.е.

q=udω. (7.2)

Сравнивая (7-1) и (7-2), получаем, что расход элементарной струйки постоянен для любого сечения вдоль неё. Обозначая расход всего потока через Qи, интегрируя по сечению, получим:

,

где ω- площадь сечения потока.

Используя свойство определенного интеграла (теорема о среднем), можно записать

,

где υ- cредняя по сечению скорость потока, т.е.

. (7.3)

Следовательно, интегрируя уравнение (7-1) по намеченным сечениям ω₁, ω₂ ,.......,ω_n , будем иметь:

. (7.4)

Получили уравнение постоянства расхода. Из него следует, что средние скорости обратно пропорциональны площадям сечений потока:

.