Комплексный метод анализа цепей синусоидального тока

Основывается на понимании различных представлений синусоидальных ЭДС, напряжений и токов.

Таблица 2. Представление мгновенных значений синусоидальных ЭДС и токов источников комплексными значениями

Источник	Мгновенное значение	Комплексное значение	Условное обозначение
ЭДС
Тока

Таблица 3. Комплексные сопротивления и проводимости пассивных элементов

Неразветвленная цепь синусоидального тока

В неразветвленной цепи при действии синусоидальной ЭДС

ток, протекающий в этой же цепи, также синусоидальный:

.

Этот ток вызывает падение напряжения на элементах цепи

.

Для расчета режимов работы этой цепи применим комплексный метод.

Выберем направление обхода по направления движения часовой стрелки. Тогда

.

В этом уравнении учтен закон Ома для резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Из этого уравнения найдем значение тока в этой цепи:

,                 (1)

где  – напряжение между выводами неразветвленной цепи.

Величина, стоящая в знаменателе выражения (1), называется комплексным сопротивлением неразветвленной цепи:

.

Величина, обратная комплексному сопротивлению, называется комплексной проводимостью:

.

Каждому значению комплексного сопротивления Z, то есть комплексному числу, соответствует точка на комплексной плоскости. Ее положение однозначно определяется вектором на комплексной плоскости. Этот вектор является геометрической интерпретацией комплексного сопротивления и также обозначается буквой Z.

Слагаемые комплексного сопротивления показаны на рисунке также в виде векторов для двух случаев: x_L > x_C и x_L < x_C. В первом случае комплексное сопротивление имеет индуктивный характер, во втором - емкостной. Геометрическая интерпретация комплексного сопротивления позволяет легко перейти от алгебраической формы записи к тригонометрической:

,

где  – модуль комплексного сопротивления или полное сопротивление,  – аргумент комплексного сопротивления.

Отсюда легко перейти к показательной форме полного сопротивления:

.            (2)

В зависимости от знака величины (x_L – x_C) аргумент комплексного сопротивления может быть либо положительным (индуктивный характер), либо отрицательным (емкостной характер), но при этом всегда .

Подставим значение комплексного сопротивления в показательной форме (2) в (1). При этом ток в цепи

.

Если значения параметров резистивного, индуктивного и емкостного элементов известны и задано напряжение между выводами неразветвленной цепи, то по закону Ома ток в этой цепи определяется однозначно.

На рисунке приведены векторные диаграммы тока и напряжений неразветвленной цепи для двух случаев: x_L > x_C и x_L < x_C.