Максимальное, среднее и действующее значения синусоидальных ЭДС, напряжений и токов

В линейной цепи при действии синусоидально изменяющейся ЭДС напряжения и токи также синусоидальные:

,

где w – угловая частота,  – начальные фазы напряжения и тока, U_m, I_m – максимальные значения (амплитуды) напряжения и тока.

Средним значением синусоидальной величины считают ее среднее значение за положительный полупериод, совпадающее со средним значением по модулю. Например, для тока вычислим среднее значение, выбрав начальную фазу равной нулю:

.

Аналогично для ЭДС и напряжения:

.

Синусоидальный ток в резистивном элементе с сопротивлением r вызывает нагрев этого элемента из-за выделения тепловой энергии. Такую же тепловую энергию в этом же резистивном элементе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением соответствующего синусоидального тока. Например, если синусоидальный ток нагревает некоторый резистивный элемент так же, как его нагрел бы постоянный ток 5А, то действующее значение синусоидального тока равно 5А.

При синусоидальном токе за один период Т в резистивном элементе с сопротивлением r выделяется тепловая энергия (Дж):

,

где i – мгновенное значение синусоидального тока.

Согласно определению действующего значения синусоидального тока такое же количество тепловой энергии в том же резистивном элементе должно выделяться при постоянном токе за тот же интервал времени T:

.

Следовательно,

,

откуда находится искомое действующее значение тока:

.

Таким образом, действующее значение синусоидального тока определяется как среднее квадратичное за период.

На рисунке показаны синусоидальный ток i, изменение во времени квадрата тока i² и графическое определение значения I² (из равенства площадей ) и, тем самым, действующее значение I.

Для синусоидального тока нетрудно определить действующее значение через амплитудное:

,

и так как

,

то

.

 Отсюда следует, что действующее значение синусоидального тока меньше его амплитуды в  раз.

Аналогично определяются действующие значения синусоидальных напряжения и ЭДС:

.

Действующее значение выбрано в качестве основной характеристики синусоидального тока потому, что в большом числе случаев действие тока пропорционально квадрату этого значения. По этой причине многие электроизмерительные приборы проградуированы при постоянном токе и, будучи включенными в цепь переменного тока (необязательно синусоидального), будут показывать действующее значение измеряемой величины.

Различные представления синусоидальных величин

Известно несколько способов представления величин, изменяющихся по синусоидальному закону:

1) в виде тригонометрических функций:

;

2) в виде графиков изменений функций во времени;

3) в виде вращающихся векторов;

4) в виде комплексных чисел.