Представление синусоидальных величин комплексными числами.

Для того чтобы представить заданную в тригонометрической форме синусоидальную величину

с начальной фазой j комплексным числом, проведем на комплексной плоскости из начала координат под углом j к оси действительных величин вектор, длина которого в масштабе построения равна амплитуде A_m исходной синусоидальной величины.

Конец этого вектора находится в точке, которой соответствует определенное комплексное число - комплексная амплитуда синусоидальной величины:

При увеличении во времени фазы (wt + j) синусоидальной величины угол между вектором и осью действительных величин растет, то есть получается вращающийся вектор

.

Вектор на комплексной плоскости, длина которого в масштабе построения равна действующему значению синусоидальной величины, и соответствующее комплексное число называются комплексным действующим значением синусоидальной величины:

.

Применяется три формы записи комплексного значения синусоидальной величины:

1) показательная

,

2) тригонометрическая

,

3) алгебраическая

,

где  – действительная и мнимая составляющие комплексного значения синусоидальной величины; .

При анализе цепей синусоидального тока применяют главным образом комплексные действующие значения синусоидальных величин. Например, синусоидальному току

соответствует комплексное значение тока

.

Закон Ома в комплексной форме для резистивного, индуктивного и емкостного элемента

Зависимости между токами и напряжениями резистивных, индуктивных и емкостных элементов определяются происходящими в них физическими процессами. Математическое описание физических явлений для каждого из этих элементов зависит от выбранного способа представления синусоидальных величин.

Резистивный элемент.

Выберем положительное направление синусоидального тока.

Для мгновенных значений напряжения и тока справедливо соотношение, определяемое законом Ома:

,

или

,

где амплитуды тока и напряжения связаны соотношением

,                                               (1)

а начальные фазы

,

то есть ток и напряжение в резистивном элементе изменяются синфазно – совпадают по фазе (см. рисунок).

Разделив правую и левую части выражения (1) на , получим соотношение для действующих значений:

Представим теперь синусоидальные ток и напряжение резистивного элемента соответствующими комплексными значениями:

.

Так как , то закон Ома в комплексной форме имеет следующий вид:

.

Соотношение между током и напряжением наглядно может быть представлено на векторной диаграмме тока и напряжения, построенной в выбранном масштабе на комплексной плоскости:

Индуктивный элемент.

Если в индуктивном элементе ток синусоидальный:

,

то по закону электромагнитной индукции на индуктивном элементе появится напряжение:

,

где амплитуды напряжения и тока связаны соотношением

,                                              (2)

а их начальные фазы:

.

Разделив правую и левую части выражения (2) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока индуктивного элемента:

,

где x_L = wL [Ом] – сопротивление индуктивного элемента.

Величину x_L также называют индуктивным сопротивлением, а обратную ей величину b_L =1/x_L = 1/wL – индуктивной проводимостью. Значения величин x_L и b_L являются параметрами индуктивных элементов цепей синусоидального тока.

Индуктивное сопротивление пропорционально угловой частоте w синусоидального тока и при постоянном токе (w = 0) оно равно нулю. По этой причине многие аппараты и приборы не могут включаться в цепь постоянного тока, так как их сопротивление в этом случае очень мало.

Представим синусоидальные ток  и напряжение  соответствующими комплексными значениями:

.

На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения тока  отстает по фазе от вектора комплексного значения напряжения  на угол , что соответствует сдвигу фаз j = p/2. Закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента имеет вид:

,

или

.

Входящая в это выражение величина jwL = jx_L называется комплексным сопротивлением индуктивного элемента, а обратная ей величина 1/jwL = -jb_L – комплексной проводимостью индуктивного элемента.

Емкостной элемент.

Если напряжение между выводамиемкостного элемента изменяется по синусоидальному закону:

,

то синусоидальный ток

,

где амплитуды связаны соотношением

,                                            (3)

а начальные фазы

.

Разделив правую и левую части выражения (3) на , получим соотношение для действующих значений напряжения и тока емкостного элемента:

,

где  – емкостное сопротивление,  – емкостная проводимость.

В противоположность индуктивному сопротивлению емкостное сопротивление уменьшается с увеличением частоты синусоидального тока. При постоянном напряжении емкостное сопротивление бесконечно велико.

На рисунке показан график мгновенных значений синусоидальных напряжения и тока для емкостного элемента. Из рисунка видно, что синусоидальное напряжение  отстает по фазе от синусоидального тока  на угол , то есть сдвиг по фазе между напряжением и током .

Представим синусоидальные ток  и напряжение  емкостного элемента соответствующими комплексными значениями:

.

На векторной диаграмме показано, что вектор комплексного значения напряжения  отстает по фазе от вектора комплексного значения тока  напряжения на угол . Закон Ома в комплексной форме для емкостного элемента имеет вид:

.

Величина 1/jwС = -jx_С называется комплексным сопротивлением емкостного элемента, а обратная ей величина jwС = jb_С – комплексной проводимостью емкостного элемента.