Краткие теоретические сведения

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса.

Статистический ряд распределения - это упорядоченное распре­деление единиц совокупности на группы по определенному варьирую­щему признаку.

В зависимости от признака, взятого за основу группировки, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивные ряды распределения построены по качественным признакам (распределение по полу, национальности, профессии и т.д.).

Вариационные ряды распределения построены по количественному признаку.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды.

Дискретный вариационный ряд характеризует распределение единиц совокупности по дискретному признаку.

Интервальный вариационный ряд используется в случае непре­рывной вариации признака, а также если дискретная вариация проявля­ется в широких пределах (т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико).

В вариационных рядах существует определенная связь между из­менением частот и изменением величины варьирующего признака: с увеличением варьирующего признака величина частот вначале возрастает до определенной величины, а затем уменьшается. Такого рода изменения называются закономерностями распределения.

Одна из важных целей статистического изучения вариационных рядов состоит в том, чтобы выявить закономерность распределения и определить ее характер.

Под кривой распределения понимается графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.

Положение кривой распределения на оси абсцисс и ее рассеи­вание являются двумя наиболее существенными свойствами кривой. На­ряду с ними существует ряд других важных свойств кривой распределе­ния: степень ее асимметрии, высоко- или низковершинность, которые в совокупности характеризуют форму или тип кривой распределения.

В практике статистических исследований приходится встречаться с самыми различными распределениями. Различают следующие разно­видности кривых распределения: одновершинные кривые (симметрич­ные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные) и многовер­шинные кривые. Для однородных совокупностей, как правило, харак­терны одновершинные распределения.

Определение формы кривой является важной задачей, так как ста­тистический материал в обычных для него условиях дает по определен­ному признаку характерную, типичную для него кривую распределения.

Всякое искажение формы кривой означает нарушение или изменение нормальных условий возникновения материала: появление двухвершинной или асимметричной кривой говорит о разнотипном составе совокупности и о необходимости перегруппировки данных в целях выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности, а также вычисления показателей асимметрии и эксцесса.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии.

Наиболее точным и распространенным является показатель асим­метрии, основанный на определении центрального момента третьего по­рядка:

                                              (18)

где μ₃ – центральный момент третьего порядка.

Центральный момент третьего порядка рассчитывается по формуле

                                      (19)

При симметричном распределении коэффициент асимметрии равен нулю. При Аs<0 асимметрия левосторонняя. При Аs>0 асимметрия правосторонняя.

Оценка степени существования показателя ассиметрии дается с помощью среднеквадратической ошибки:

                              (20)

где n- объем наблюдений.

Если        ,то асимметрия существенная и распределение

признака в совокупности не симметрично. Если , то асимметрия несущественна и ее наличие может быть объяснено влиянием различных случайных факторов.

Кроме того, в симметричных распределениях рассчитывается по­казатель эксцесса (островершинности), использующий центральный мо­мент четвертого порядка:

,                                               (21)

где μ₄ – центральный момент четвертого порядка.

Центральный момент четвертого порядка вычисляется по формуле

                                                                                                               (22)

Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического рас­пределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения, где μ₄ / ϭ⁴ =3

Если Ех=0, то распределение является нормальным. Если Ех<0 (отрицательный эксцесс), то распределение является плосковершинным (низковершинным).

Низковершинностъ означает отрицательный эксцесс и характеризует большую разбросанность членов ряда.

Если Ех >0 (положительный эксцесс), то распределение является островершинным (высоковершинным).

Высоковершинность означает положительный эксцесс и характе­ризует скопление частот (т.е. членов вариационного ряда) в середине.

Оценка степени существенности этого показателя дается с помо­щью среднеквадратической ошибки эксцесса:

                                                                                                    (23)

Если           , то эксцесс существенный. Если           , то эксцесс

несущественный.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса по­зволяет сделать вывод о том, можно ли отнести данное эмпирическое распределение к типу кривых нормального распределения.

Для того чтобы эмпирическое распределение можно было отнести к нормальному типу, необходимо, чтобы и асимметрия, и эксцесс были признаны несущественными.

Порядок выполнения работы

1. Построение графического изображения эмпирического распре-

деления.

2. Анализ вариационного ряда распределения.

3. Формулирование вывода о возможности отнесения данного эм лирического распределения к типу кривых нормального распределения.

4.

Пример выполнения работы

Задание. На основании анализа вариационного ряда распределения (табл.3) сделайте вывод о возможности отнесения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения.

Для удобства вычисления показателей асимметрии и эксцесса используется табл.6.

Таблица 6

Вспомогательная таблица для расчета показателей асимметрии и эксцесса

Среднее значение признака составляет 7347 млн. руб., мода- 6787 млн. руб., медиана – 7067 млн. руб., среднеквадратическое отклонение – 2017 млн. руб.

Центральный момент третьего порядка

μ₃ =82649280000 / 30 = 2754976000.

Показатель асимметрии: As = 2754976000/ 2017³ = 0,3.

Положительный показатель асимметрии (Аs>0) свидетельствует о наличии правосторонней асимметрии.

Среднеквадратическая ошибка асимметрии составляет

Ϭ_as =  = 1,6

Отношение            , следовательно, асимметрия несущественна и ее

наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.

В симметричных распределениях рассчитывается показатель эксцесса (островершинности).

Центральный момент четвертого порядка

μ₄ = 1634292244426430 / 30 = 54476408147548.

Показатель эксцесса( островершинности) Ех =54476408147548 / 2017⁴ --3=0,3.

Положительный эксцесс (Ех>0) говорит об островершинности распределения. Островершинность означает положительный эксцесс и характеризует скопление членов вариационного ряда в середине.

Среднеквадратическая ошибка эксцесса составляет

Ϭ_Ex=  = 0,56

Отношение     , следовательно, эксцесс несущественный.

Так как, и асимметрия и эксцесс несущественны, то данное эмпирическое распределение можно отнести к типу кривых нормального распределения.

Выводы

Вариационный ряд имеет правостороннюю асимметрию, которая признана несущественной и ее наличие может быть объяснено влиянием различных случайных обстоятельств.

Положительный эксцесс указывает на качественную однородность исследуемой совокупности.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, что данное эмпирическое распределение можно отнести к типу кривых нормального распределения.

Положительный эксцесс указывает на качественную однородность исследуемой совокупности.

Оценка существенности показателей асимметрии и эксцесса позволяет сделать вывод о том, что данное эмпирическое распределение можно отнести к типу кривых нормального распределения.

Лабораторная работа 4

ВИДЫ ДИСПЕРСИЙ

Цель работы.Изучить основные принципы расчета различных видов дисперсий и освоить их практическое применение для анализа взаимосвязей.