Краткие теоретические сведения

Изучая зарегистрированные в процессе статистического наблюдения величины того или иного признака у отдельных единиц совокупности, можно обнаружить различия между ними. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, используют средние величины.

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Средняя величина является наиболее распространенной формой статистических показателей.

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние.

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя рассчитывается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

(3)

где - величина осредняемого признака у каждой единицы совокупно­сти; n - объем совокупности; z - показатель степени средней.

Взвешенная средняя вычисляется по сгруппированным данным и имеет общий вид

,(4)

где fi- частота или повторяемость индивидуальных значений признака в совокупности.

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием показателя и исходных данных. В каждом конкретном случае применя­ется одна из степенных средних.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности выражается суммой значений признаков отдельных ее единиц.

Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле

,(5)

Средняя арифметическая взвешенная -по формуле

. (6)

Кроме степенных средних в статистической практике применяются структурные (или распределительные) средние. Они используются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения признака. К ним относятся мода и медиана.

Модой называется наиболее часто встречающийся вариант или то значение признака, которое соответствует максимальной точке теорети­ческой кривой распределения. В дискретном ряду мода - это вариант с наибольшей частотой.

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считают центральный вариант так называемого модального интервала.

Модальный интервал - это интервал, который имеет наибольшую частоту.

Конкретное значение моды для интервального ряда распределения с равными интервалами определяется формулой

М_о=Х_мо+i_mo (7)

где где x_мо - нижняя граница модального интервала; i_MO– величина модального ­интервала; f_mo- частота, соответствующая модальному интервалу;

f_mo-1 - частота интервала, предшествующая модальному интервалу; f_M0+i - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значение варьирующего признака меньше, чем средний вариант, другая - больше, чем средний вариант.

В дискретном ряду с четным числом индивидуальных величин медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, а с нечетным числом медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.

Для интервального ряда медиана определяется по формуле

М_ме=Х_ме+i_ме ,  (8)

где х_ме - нижняя граница медианного интервала; i_мe - величина медианного интервала; s_Me-1 - сумма частот, накопленная до медианного интервала; f_мe - частота, соответствующая медианному интервалу.

Медианный интервал - это первый интервал, в котором накопленная частота составляет половину или больше половины общей суммы частот.

Различие индивидуальных значения признака внутри изучаемой совокупности в статистике называется вариацией признака. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения признака скла­дываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Колеблемость отдельных значений характеризуют показатели ва­риации. Статистические показатели, определяющие вариацию, делятся на две группы: абсолютные и относительные. К абсолютным относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется как отношение абсолютных показателей вариации к средней арифметической. Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение.

Самым простым абсолютным показателем является размах вариа­ции. Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими наименьшее и наибольшее значе­ние признака:

R=x_max-x_min ,                                                     (9)

где х_mах и х_min - соответственно, наибольшее и наименьшее значения признака в совокупности.

 Среднее линейное отклонение вычисляется как средняя арифметическая (простая или взвешенная в зависимости от исходных данных) из абсолютных значений отклонений вариант и среднего значения признака в совокупности по следующим формулам:

= ,                                                              (10)

= ,                                               (11)

Среднее линейное отклонение дает обобщенную характеристику степени колеблемости признака в совокупности.

Общепринятыми мерами вариации являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Данные показатели нашли широкое применение в статистических исследованиях, а также в других отраслях знаний.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений инди­видуальных значений признака от их средней величины и в зависимости от исходных данных вычисляется по формулам простой и взвешенно

(12)

                                                                                                                                          (13)

Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:

                                                                                                             (14)

Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характе­ристика размеров вариации признака в совокупности. Оно выражается в тех же единица измерения, что и признак (в метрах, тоннах, рублях, про­центах и т.д.)

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одного и того же признака в нескольких совокупностях представляют интерес показатели вариации, приведенные в относительных величинах. Относи­тельные показатели вариации выражаются в процентах и определяют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику од­нородности совокупности.

Коэффициент осцилляции вычисляется как отношение размаха вариации к средней арифметической:

К_о=r w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">                                                                      (15)

Относительное линейное отклонение вычисляется как отношение среднего линейного отношения к средней арифметической:

                                                                                                               (16)

Наиболее часто в практических расчетах применяется показатель относительной вариации - коэффициент вариации.

Коэффициент вариации вычисляется как отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

                                                                                                               (17)

Для распределений, близких к нормальному, совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %

Таблица 4

Стандартные функции Microsoft Excel' используемые при расчете показателей по не сгруппированным данным

Порядок выполнения работы

1.Определение средних величин и показателей вариации по не сгруппированным данным.

2. Определение средних величин и показателей вариации по сгруппированным данным.

3. Формулировка выводов об однородности исследуемой совокуп­ности по изучаемому признаку.

4. Формулировка выводов о типичности среднего значения признака.

Пример выполнения работы

Задание.Рассчитать среднее значение, структурные средние, пока­затели вариации, используя данные о стоимости основных средств предприятий региона (табл. 1). Определить одно­родность совокупности предприятий региона по стоимо­сти основных средств. Оценить типичность рассчитанного среднего значения.

При расчете показателей по сгруппированным данным необходи­мо использовать формулы для вычисления взвешенных величин. Для удобства расчета используется табл. 5.

Таблица 5

Вспомогательная таблица для расчета средних показателей и показателей вариации

Группы предприятий по стоимости основных средств хi, млн руб.	Количество предприятий fi	Середина интервалаxi', млн руб.	x'i·fi	|хi'-xср|*fi	(х'i- )2*fi	Накопленные частоты
3427-4827	3	4127	12381		31105200	3
4827-6227	6	5527	33162	10920	19874400	9
6227-7627	10	6927	69270	4200	1764000	19
7627-9027	4	8327	33308	3920	3841600	23
9027-10427	4	9727	38908	9520	22657600	27
10427-11827	3	11127	33381	11340	42865200	30
Итого	30	-	220410	49560	122108000	-

Среднее значение признака = 220410/30=7347 млн руб.

Модальным интервалом является интервал (6227-7627), имеющий максимальную частоту (10ед.)

Мода М_о = 6227+(7627-6227)  млн руб.

Медианным интервалом является интервал 6227-7627, в котором накопленная частота S=19, что больше половины общей суммы частот.

Медиана М_е= 6227+(7627-6227)· =7067 млн. руб.

Размах вариации R=11827-3427=8400 млн. руб.

Среднее линейное отклонение  =49560/30=1652 млн. руб.

Дисперсияϭ² =122108000/30=4070267

Среднеквадратическое отклонениеϭ= =2017 млн. руб.

Коэффициент осцилляции К_о =8400·100/7347=114%.

Относительное линейное отклонение =1652·100/7347=22%.

Коэффициент вариации v=1652·100/7347=27%.

Результаты расчета по не сгруппированным данным с использованием стандартных функций Microsoft Excel составляют: среднее значение - 7302 млн. руб., мода - 6925 млн. руб., медиана - 6914 млн. руб.,
размах вариации - 8390 млн. руб., среднее линейное отклонение -
1649 млн. руб., дисперсия - 4382880, среднее квадратическое отклонение -
2094 млн. руб., коэффициент осцилляции - 115%, линейный коэффициент вариации - 23 %, коэффициент вариации - 29 %.

Выводы

Приведенные расчеты показали, что коэффициент вариации не превышает 33 %, следовательно, совокупность можно считать однород­ной. Типичность среднего значения в данной совокупности - удовлетво­рительная.

Лабораторная работа 3

АНАЛИЗ ВАРИАЦИООНЫХ РЯДОВ

Цель работы.Изучить основные принципы определения общего характера распределения и освоить их практическое применение.