Принцип возможных перемещений.

Принцип возможных перемещений устанавливает условия равновесия механических систем. Под равновесием механической системы понимают состояние ее покоя по отношению к выбранной инерциальной системе отсчета.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Для ее равновесия необходимо и достаточно, чтобы суммы всех сил, действующих на каждую точку системы, и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю:

где – равнодействующая всех активных сил, действующих на точку с номером k;  – равнодействующая всех сил реакций связей, наложенных на точку с номером k.

Для равновесия механической системы с идеальными удерживающими стационарными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы равнялась нулю и скорости всех точек в начальный момент времени равнялись нулю:

Общее уравнение динамики.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из nматериальных точек, на которую наложены идеальные удерживающие связи. Уравнения движения точек имеют вид:

где  – равнодействующая всех активных сил, действующих на точку с номером k;  – равнодействующая реакций связей, наложенных на точку с номером k.

При фиксированном времени дадим точкам системы возможные перемещения. Умножим каждое из уравнений движения скалярно на соответствующее возможное перемещение и сложим все полученные уравнения:

Поскольку по условию связи идеальные (6.7), последняя сумма равна нулю и, следовательно, Уравнение называется общим уравнением динамики.

Уравнения Лагранжа 2-го рода.

Общее уравнение динамики даёт возможность составлять дифференциальные уравнения движения, не содержащие реакций идеальных связей. Для сравнительно простых механических систем непосредственное применение этого уравнения вполне оправдано, однако, в более сложных случаях использование общего уравнения динамики приводит, как правило, к относительно сложным преобразованиям. Поэтому значительно удобнее пользоваться не общим уравнением динамики, а вытекающими из него уравнениями Лагранжа 2–го рода, в которых для голономных систем основные трудности преобразований преодолеваются уже в общем виде. Уравнения Лагранжа 2-го рода имеют вид:  где T – кинетическая энергия системы; – обобщенная координата;  – обобщенная скорость;  – обобщенная сила; – число степеней свободы системы.