Вибір рішення в умовах невизначеності

Ми розглянули зворотну задачу дослідження операцій у детермінованому випадку, коли критерій оптимальності W залежить тільки від двох груп чинників: заданих, наперед відомих умов a і керованих змінних х. Реальні завдання дослідження операцій найчастіше містять крім цих двох груп ще одну – невідомі чинники, які в сукупності ми позначимо однією буквою о. Отже, критерій оптимальності W залежить від всіх трьох груп чинників:

W=f(a,x,о).

Оскільки величина W залежить від невідомих чинників о, то навіть при заданих а і х вона вже не може бути обчислена, залишається невизначеною. Завдання пошуку оптимального рішення теж втрачає визначеність. Адже не можемо ж ми максимізувати невідому величину. І все-таки нас не покидає бажання зробити цю невідому величину по можливості максимальною. Адже досягають своєї мети люди в умовах, коли не вся обстановка ясна. Перекладаючи сказане математичною мовою, поставимо перед собою наступне завдання: за даних умов a з урахуванням невідомих чинників о знайти таке рішення х є Х, яке по можливості забезпечує максимальне значення оптимальності W. Це вже друга не суто математична задача (недарма зроблена обмовка „по можливості ”). Наявність невизначених чинників о переводить завдання в нову якість: воно перетворюється на завдання про вибір рішення в умовах невизначеності.

Для того, щоб такі рішення не ухвалювалися навмання, а тверезо, з розплющеними очима, сучасна наука пропонує ряд прийомів. Яким із них скористатися – залежить від того, яка природа невідомих чинників о. Іншими словами, з якого виду невизначеністю ми стикаємося в даному випадку. Перш за все, розглянемо найсприятливіший для дослідження випадок, коли невизначені чинники о є звичними об’єктами вивчення теорії вірогідності – випадкові величини (або випадкові функції), статистичні характеристики яких нам відомі або в принципі можуть бути одержані за потрібний термін. Такі задачі ми називаємо стохастичними задачами, а властиву їм невизначеність – стохастичною невизначеністю.

Термін «стохастичний» значить «вірогідний», але звучить якось урочистіше.

Наведемо приклад стохастичного завдання дослідження операцій. Організовується система профілактичного й аварійного ремонту технічних пристроїв з метою зменшення простоїв техніки за рахунок несправності і ремонтів. Відмови техніки при тривалості ремонтів і профілактиці носять випадковий характер. Характеристики всіх випадкових чинників, які входять у завдання, можуть бути одержані, якщо зібрати відповідну статистику.

Підходи до рішення стохастичних задач. Хай невідомі чинники оє випадковими величинами з певними характеристиками вірогідності – законами розподілу, математичними очікуваннями, дисперсіями і т. д. Тоді критерій оптимальності W, який залежить від цих чинників, теж буде величиною випадковою. Максимізувати випадкову величину неможливо: при будь-яких значеннях х вона залишається випадковою, неконтрольованою. Як же бути?

Перший підхід. Випадкові чинники о замінюють їх середніми значеннями (математичними очікуваннями):

о=`о.

Тоді завдання стає детермінованим і може бути вирішеним звичайними методами. Що й говорити – прийом спокусливий і в деяких випадках навіть виправданий. Адже на практиці, вирішуючи більшість завдань із фізики, техніки, ми завжди і підряд користуємося ним, нехтуючи рядом випадковостей (теплоємність, індуктивність, коефіцієнт тертя) і замінюючи їх середніми значеннями. Все питання в тому, наскільки випадкові ці параметри: якщо вони мало відхиляються від своїх математичних очікувань, так поступати можна і потрібно. Так само йде справа і при дослідженні операцій: є завдання, в яких випадковістю можна нехтувати. Той же прийом буде вже необачним, якщо вплив випадковості на результат операції, що цікавить нас, істотний. Наприклад, проектування гірничо-збагачувальних комбінатів здійснювалося на основі середніх показників якості видобутої руди.

Другий підхід. Розглянемо ситуацію, де чинники о «істотно випадкові»і помітно впливають на критерій оптимальності W, який теж «істотно випадковий». Підхід до рішення: взяти як критерій оптимальності середнє значення (математичне очікування) цієї випадкової величини `W=M[W] і вибрати таке рішення х, при якому цей усереднений за умов показник обертається в максимум:

`W=M[f(a,x, о)] max.

Цей підхід називають «оптимізацією в середньому». В більшості випадків оптимізація в середньому цілком виправдана. Невизначеність, звичайно, в якійсь мірі тут зберігається. Ефективність кожної окремої операції, при конкретних значеннях випадкових чинників о, може сильно відрізнятися від очікуваної як у більшу, так і в меншу сторону. Щоб цей прийом був правомірним, потрібно, щоб операція володіла властивістю повторюваності і «недостача» критерію оптимальності в одному випадку компенсувалася б його «надлишком» в іншому. Наприклад, визначення параметрів буро-підривних робіт на уступах кар’єру. Але так не завжди буває. Щоб переконатися в цьому розглянемо приклад організації АСУ для служби швидкої допомоги у великому місті. Виклики, що виникають у різних районах міста у деякі моменти часу поступають на центральний пункт управління, звідки вони передаються на той або інший пункт швидкої допомоги з доданими йому машинами. Вимагається розробити алгоритм диспетчерської роботи АСУ, при якому служба в цілому функціонуватиме найефективніше. Для цього потрібно вибрати критерій оптимальності. Бажано, щоб час очікування лікаря Т був мінімальним. Але це час – величина випадкова. Якщо застосовувати «оптимізацію в середньому», то треба вибрати той алгоритм, при якому середній час очікування буде мінімальним. Але біда в тому, що час очікування не підсумовується: дуже довге очікування одного з них не компенсується майже миттєвим обслуговуванням іншого. Тут ми ризикуємо дати перевагу тому алгоритму, при якому середній час очікування малий, хоча окремі хворі можуть чекати лікаря дуже довго.

Третій підхід– оптимізація в середньому із стохастичними обмеженнями.

Стосовно наведеного прикладу критерій оптимальності доповнюється вимогою, щоб фактичний час очікування лікаря Т був не більше значення t_o. Оскільки Т – величина випадкова, не можна просто вимагати, щоб виконувалася умова Т<t_o, можна тільки вимагати, щоб воно виконувалося з дуже великою вірогідністю, щоб подія Т<t_o була практично достовірною.

T=M [T] →min

З обмеженням                                           P(T£t_o)³В.

При значеннях В близьких до одиниці (0,99 або 0,995), подію можна вважати практично достовірною.

Введення такого обмеження означає: зі сфери можливих рішень Хвиключається рішення, яке його не задовольняє. Обмеження цього типу називають стохастичними. Наявність стохастичних обмежень сильно ускладнює завдання оптимізації. Особливо обережним треба бути з «оптимізацією в середньому», коли йдеться про неповторювану, одиничну операцію. Що з того, що операція в середньому приносить виграш, якщо в даному, одиничному випадку, може привести до повного розорення (приклад проектування ГЗК). Від таких катастрофічних результатів можна врятуватися введенням стохастичних обмежень.

Четвертий підхід.У таких випадках, коли до моменту ухвалення рішення не можуть бути одержані статистичні характеристики випадкових чинників, застосовуємо такий прийом: залишимо деякі елементи рішення х вільними, змінними. Потім виберемо якийсь варіант рішення, знаючи, що він не найкращий, і пустимо систему в хід по мірі того, щоб ефективність збільшувалася. Алгоритми управління, які вдосконалюються у процесі застосування, називаються адаптивними. Перевага адаптивних алгоритмів у тому, що вони не тільки позбавляють від попереднього збирання статистики, але й перебудовуються у відповідь на зміну обставин. У міру накопичення досвіду такий алгоритм поступово поліпшується, подібно до того, як людина «вчиться на помилках».

Набагато гірше йде справа, коли невідомі чинники о наперед не відомі. Немає сенсу говорити про закони їх розподілу або інші характеристики вірогідності, яких не існує. Наприклад: припустимо, планується якась торговельно-промислова операція, успіх якої залежить від того, спідниці якої довжини носитимуть жінки через два роки. Розподіл вірогідності для величини о в принципі не може бути отриманий ні з яких статистичних даних. Навіть якщо розглянути безліч дослідів (за багато років), починаючи з тих віддалених часів, коли жінки вперше одягнули спідниці, і в кожному з них зафіксувати величину о, це навряд чи допоможе нам у цьому прогнозі. Розподілу вірогідності величини опросто не існує, оскільки не існує масу однорідних дослідів, де вона мала б належну стійкість. Цю невизначеність нестохастичного виду називають «поганою невизначеністю».