Билет 12. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство: Пусть - плоскость , b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость проходящая через прямую b, и с - прямая по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и bплоскость . Она перпендикулярна прямой с, так как прямые а и bперпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. Теорема доказана.

Билет 13. Перпендикуляр и наклонная.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
С – основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией наплоскость. Пусть прямаяи плоскость заданы уравнениями

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Условие перпендикулярности прямой и плоскости. Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Условие параллельности прямой и плоскости. Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны.

Примеры.

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М₁(2;-3;4) параллельно прямым и .

Так как M₁Î α, то уравнение плоскости будем искать в виде

.

Применяя условие параллельности прямой и плоскости, получим систему линейных уравнений

Отсюда

Итак, или .