Билет 7. Основные понятия стереометрии

Стереометрия изучает геометрические свойства пространственных тел и фигур. Подобно тому, как в планиметрии основными понятиями являютсяточка и прямая, в стереометрии основными понятиями являются прямая и плоскость.

Основная аксиома стереометрии: Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну плоскость.

Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей, образующих в этом случае пучок плоскостей. Прямая, через которую проходят все плоскости пучка, называется осью пучка. Через любую прямую и точку, лежащую вне этой прямой, можно провести одну и только одну плоскость. Через две прямые не всегда можно провести плоскость. Если это невозможно, то эти прямые называютсяскрещивающимися.

П р и м е р . Горизонтальная прямая, проведенная на одной стене комнаты,

и вертикальная линия на противоположной стене являются

скрещивающимися прямыми.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются, сколько бы их ни продолжать, но они не являются параллельными прямыми, так как не лежат в одной плоскости. Только параллельные прямые являются непересекающимися линиями, через которые можно провести плоскость. Разница между скрещивающимися и параллельными прямыми состоит в том, что параллельные прямые имеют одинаковое направление, а скрещивающиеся – нет.Через две пересекающиеся прямые всегда можно провести одну и только одну плоскость.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть длина отрезка AB, соединяющего ближайшие точки A и B ( рис.69 ), расположенные на скрещивающихся прямых. Прямая AB перпендикулярна к обеим скрещивающимся прямым. Расстояние между двумя параллельными прямыми определяется, как и в планиметрии. Расстояние между пересекающимися прямыми считается равным нулю. Две плоскости либо пересекаются (по прямой), либо нет. Непересекающиеся плоскости называются параллельными плоскостями. Плоскость и прямая либо пересекаются (в одной точке), либо нет. В последнем случае мы говорим, что прямая и плоскость параллельны друг другу.

 Билет 8. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 

 Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.

1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые.

2. Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.

3. В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с — скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости указана прямая a1 || b).

взаимное расположение двух прямых в пространстве

Пересекающиеся прямые

В пространстве две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо быть скрещенными.

Свойство: если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноимённых проекций находятся на одной линии связи.

Параллельные прямые

Свойство: параллельность отрезков прямых сохраняется в проекциях.

 Обратное свойство: если проекции прямых на всех плоскостях проекций параллельны, то прямые параллельны

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые не принадлежат одной плоскости, т.е. не пересекаются и не параллельны.

 Свойство: на чертеже одноименные проекции прямых, взятые отдельно, имеют признаки пересекающихся или параллельных прямых.

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

9). Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Пусть плоскость (Р) задана уравнением

а прямая L - своими каноническими уравнениями

Требуется найти угол между прямой (31) и плоскостью (30). Углом между прямой и плоскостью назовем угол между прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 5).

Тогда угол φ между прямой и плоскостью не превышает π/2. Пусть - нормальный вектор плоскости,

а - направляющий вектор прямой.

Т.к то

Поставим задачу определить координаты точки пересечения прямой (32) и плоскости (30). Поскольку точка пересечения одновременно принадлежит и прямой и плоскости, то ее координаты (х, у, z) удовлетворяют системе

уравнений

Запишем параметрические уравнения прямой

Координаты точки пересечения (х, у, z), найденные из уравнений прямой, должны удовлетворять уравнению плоскости, т.е.

Отсюда находим значение параметра t для точки пересечения

и затем с помощью параметрических уравнений прямой вычисляем координаты точки пересечения (х, у, z).

Признак параллельности прямой и плоскости.

 Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

Рис.21

Замечания.

Рис 22

1.Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

 2.Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, а другая прямая имеет с плоскостью общую точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.

Выводы.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:

 а) прямая лежит в плоскости;

 б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;

 в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

 Параллельность плоскостей и обозначается так: || . Рассмотрим признак параллельности двух плоскостей.

 Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.