Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.

Пусть на множестве определена -арная операция : Тогда для элементов , , …, множества всех последовательностей элементов множества операция будет определяться следующим образом:

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Разностью числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Произведением числовых последовательностей и называется числовая последовательность такая, что .

Частным числовой последовательности и числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности на позиции всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.

Подпоследовательность последовательности — это последовательность , где — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Сумма последовательности.

Дана последовательность: 1*2+2*3*4+4*5*6*7+7*8*9*10*11+...{и та до <1000}. Каждое последующее произведение увеличивается на одно число. Посчитать сумму последовательности. Цикл while.

Формула суммы всех членов бесконечной геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где |q|<1 , имеет огромное значение в формировании математических знаний. В связи с отсутствием теории пределов в современном школьном курсе алгебры формула суммы бесконечной геометрической прогрессии не доказывается, а поясняется на интуитивном уровне. Поэтому, основным назначением этой формулы в современном школьном курсе стал перевод бесконечной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Утеряна первоначальная формулировка: если |q|<1 , то при неограниченном возрастании числа n сумма стремится к числу

Это число называется суммой бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1.

Билет 17.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

 Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению в данной функции, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Предел фу́нкции — одно из основных понятий математического анализа.

Теоремы о пределах

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f(x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству |x-a| < d имеет место неравенство |f(x)| > M.limx® a=Ґ

2. Функция ограниченная при x® a.

3. Функция ограниченная при x® Ґ.

4. Теорема. Если limx® a f(x)=b, то функция f(x) ограниченная при x® a.

5. Бесконечно малые и их свойства. limx® a a(x)=0

Теорема. 1. Если f(x)=b+a, где a - б.м. при x® a, то limx® a f(x)=b и обратно, если limx® a f(x)=b, то можно записать f(x)=b+a(x).

 Теорема. 2. Если limx® a a(x)=0 и a(x) № 0, то 1/a® Ґ.

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

6. Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

 Теорема. 4. Если u(x) Ј z(x) Ј v(x), и limx® a u(x)=limx® a v(x)=b, то limx® a z(x)=b. ("Теорема о двух милиционерах").

 7. Первый замечательный предел. 0.5sin(x) < 0.5x < 0.5tg(x)

8. Второй замечательный предел.

Переменная величина

при Свойства пределов функцииn® Ґ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

 Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

  2) Предел суммы

 Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

 Расширенное свойство предела суммы:

 Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

  3) Предел произведения функции на постоянную величину

 Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

  4) Предел произведения

 Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

 Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

 Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю: