Операции над матрицами (алгебра матриц)

1. Равенство матриц. Две матрицы А = (a_ij) и B = (b_ij) одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, т.е. для любых i и j справедливо равенство a_ij = b_ij.

2. Умножение матрицы на число.Произведением матрицы А на число λ называется матрица В = λ А, элементы которой для любых i и j определяются формулой b_ij = λ a_ij .

ПРИМЕР:

3. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С = А + В, элементы которой для любых i и j определяются формулой c_ij = a_ij + b_ij (т.е. матрицы складываются поэлементно).

ПРИМЕР:

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А размером  m x k и матрицы В размером k x n называется матрица С размером m x n, каждый элемент c_ij которой равен сумме произведений элементов i–ой строки матрицы А на соответ­ствующие элементы j –го столбца матрицы В.

ПРИМЕР: Найти произведения АВ и ВА матриц:

Имеем:

Как следует из примера чаще всего АВ ≠ ВА. При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, т.е. если А квадратная матрица того же порядка, что и Е, всегда выполняется равенство АЕ = ЕА = А.

5. Транспонирование матрицы – это переход от матрицы А к матрице А^Т, в которой строки и столбцы матрицы А поменяны местами с сохранением порядка их следования. При этом матрица А^Т называется транспонированной к матрице А.

ПРИМЕР:

Как следует из примера, при транспонировании матрицы любого размера элементы ее главной диагонали остаются на своих местах и в транспонированной матрице.