Определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений

Коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii и свободные члены R_iF системы канонических уравнений метода перемещений (см. п. 19.3 настоящей лекции) можно определить, используя эпюры внутренних усилий, полученные в основной системе от смещения наложенных связей на величину, равную единице, и от заданной нагрузки с помощью стандартных задач (см. п. 19.4 настоящей лекции).

Для определения реакций в наложенных связях от вышеупомянутых воздействий используют статический или кинематический способы.

Статический способ. Реакция в любой наложенной связи в основной системе метода перемещений от единичных кинематических воздействий и от нагрузки определяется из условия равновесия узла или любой части сооружения, содержащих рассматриваемую связь (см. пример в п. 19.7 настоящей лекции).

Кинематический способ. Используя принцип возможных перемещений, определим коэффициенты при неизвестных r_ij и r_ii.

Рис. 19.14

Рассмотрим i-е исходное состояние основной системы метода перемещений, в котором i-я наложенная связь получила перемещение на величину, равную единице, и определим реакцию в j-й наложенной связи r_ji от этого перемещения (рис. 19.14,а). За возможные примем перемещения в j-м состоянии основной системы (рис. 19.14,б). Суммарная возможная работа внешних (W_ext,ij) и внутренних (W_int,ij) сил i-го состояния на возможных перемещениях, имеющих место в j-м состоянии, в силу равновесия рассматриваемой системы равна нулю

W_ext,ij+ W_int,ij = 0.                         (19.8)

В соотношении (19.8) возможная работа внешних сил запишется:

W_ext,ij = r_ji · 1.                           (19.9)

Возможную работу внутренних сил вычислим с учетом только изгибных деформаций (см. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Ч. 2. Статически неопределимые системы. Метод сил: Курс лекций / А.А. Крамаренко, Л.А. Широких. – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – п.11.2 одиннадцатой лекции)

            (19.10)

После подстановки выражений (19.9) и (19.10) в зависимость (19.8) получим

              (19.11)

Если i-е состояние основной системы будем рассматривать как исходное и как вспомогательное, повторно применяя принцип возможных перемещений, вычислим

                    (19.12)

Из соотношения (19.12) следует, что главные коэффициенты r_ii системы канонических уравнений всегда положительны. Формула (19.11) по существу подтверждает теорему о взаимности реакций (r_ji = r_ij), так как множители M_ik(s)  и M_jk(s) в подынтегральном выражении можно менять местами.

Для определения реакций в наложенных связях от заданной нагрузки R_iF воспользуемся теоремой о взаимности возможных работ состояний F и i, изображенных на рис. 19.15,а,б (см. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Ч. 3. Статически неопределимые системы. Метод сил: Курс лекций / А.А. Крамаренко, Л.А. Широких. – Новосибирск: НГАСУ, 2002. – п. 15.1 пятнадцатой лекции).

                      (19.13)

Так как

то, используя равенство (19.13), получим:

                           (19.14)

где – перемещение в направлении обобщенной силы F от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице в основной системе метода перемещений.

Перемещение определяется по формуле, которую здесь приведем без доказательства:

                (19.15)

В соотношении (19.15):  – изгибающие моменты в основной системе метода перемещений от смещения i-й наложенной связи на величину, равную единице;  – изгибающие моменты в любой статически определимой основной системе метода сил, полученной из рассматриваемой основной системы метода перемещений удалением лишних связей, в том числе обязательно и i-й связи, от единичного обобщенного фактора (рис.19.15,в).

Изгибающие моменты  от полного значения обобщенной силы F можно представить в виде

 отсюда

                      (19.16)

Соотношение (19.15) с учетом зависимости (19.16) перепишется:

                 (19.17)

После подстановки выражения (19.17) в формулу (19.14) окончательно получим

              (19.18)

Вычисление коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений с помощью соотношений (19.11), (19.12) и (19.18), как и в методе сил, можно произвести сопряжением соответствующих эпюр внутренних усилий, используя формулу Симпсона или правило Верещагина.

В двадцать второй лекции будет рассмотрено определение коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений в матричной форме.