Тема 12Метод наименьших квадратов (МНК)

Понятие о методе наименьших квадратов

Пусть имеются результаты серии экспериментов:

где i – номер опыта,  x_i , y_i -результаты эксперимента.

Как правило, целью эксперимента является выявление зависимости между величинами x и y. Рассмотрим случай построения оптимальной прямой (полином при  m=1) методом наименьших квадратов:y=ax+b.

Параметры прямой   и   определяются из системы уравнений:

(12.1)

Пример выполнения практическойработы 12

Построение оптимальной прямой по методу наименьших квадратов

Требуется определить оптимальную прямую для заданных 12 точек на плоскости с координатами .Координаты точек представлены в таблице:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	1	2	3	4	4	5	3	6	10	8	9	7
	2	2,5	2	4	4,5	5	4	5	9	7	8	7

Ручной счет ( ).

Для ручного счета из таблицы координат заданных точек выбираем первые четыре точки. Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу ниже):

1	1	2	1	2
2	2	2,5	4	5
3	3	2	9	6
4	4	4	16	16
S	10	10,5	30	29

Подставляем полученные значения в систему уравнений относительно коэффициентов искомой прямой  и :

Решая эту систему, например, по методу Крамера, получим:

, ,где

,

,

Следовательно, , .

Ответ: уравнение искомой прямой имеет вид: . График выведен на рисунке.

Выполнение работы в MATLAB.Для выполнения задания создается М-файл. Исходные данные (массивы x и y) вводятся из файла inpdata.dat. Содержимое указанного файла для рассматриваемого примера имеет вид:

Ниже приведен текст М-файла.

f_id=fopen('inpdata.dat','rt');

x=str2num(fgetl(f_id));

y=str2num(fgetl(f_id));

n=length(x);

fprintf('\n Данные эксперимента:')

fprintf('\n x:'); fprintf('%5.1f',x);

fprintf('\n y:'); fprintf('%5.1f',y);

p1=polyfit(x,y,1);

a=p1(1); b=p1(2);

s=0;

for i=1:n

s=s+(a*x(i)+b-y(i))^2;

end

fprintf('\n МНК-прямая: \n y=%8.4f',a);

fprintf('*x+%8.4f',b);

fprintf(' s=%8.4f \n',s);

y1=polyval(p1,x);

plot(x,y,'r*',x,y1);

title('График оптимальной прямой и экспериментальные точки');

grid on

xlabel('x');ylabel('y');

Данные эксперимента:

X: 1.0 2.0 3.0 4.0 4.0 5.0 3.0 6.0 10.0 8.0 9.0 7.0

Y: 2.0 2.5 2.0 4.0 4.5 5.0 4.0 5.0 9.0 7.0 8.0 7.0

    МНК-прямая

    y= 0.7918x+ 0.9089 s= 3.2807

Контрольные вопросы к практической работе 12

1. Для своих данных построить оптимальную кривую второго порядка.

2. Отобразить на графике оптимальные прямые для 4 и 12 точек.

3. Для чего используется в программном коде функция polyval?

4. Для чего используется в программном коде функцияpolyfit?

5. Запрограммируйте решение своей задачи через реализацию формул метода наименьших квадратов по формуле 12.1

Тема 13 Задача линейного программирования

Формулировка задачи линейного программирования

Многие практические задачи, связанные с планированием производства, экономические задачи, расчет конструкций и т.д. сводятся к, так называемой, задаче математического программирования. Такая задача состоит в вычислении максимума (минимума) функции цели ,  при заданных ограничениях , , . Наиболее простым представителем такой задачи является задача линейного программирования

Практическая работа 13 посвящена решению задачи линейного программирования.

Необходимо найтиточку максимума функции цели : 

Для компьютерного счета

Представим задачу в матричной формулировке, т.е. 

найти

при ограничениях

и дополнительном условии

Пример выполнения практической работы 13

Ручной счет

Для решения воспользуемся геометрическим методом. Для , . Тогда условия задачи принимают следующий вид:

функция цели: , ограничения:

Строим многоугольник ограничений W (допустимую область значений и ) прямую .

Из чертежа видно, что среди точек многоугольника ограничений наиболее удаленной точкой от прямой  является вершина многоугольника с координатами =12, =3. В этой точке величина функции цели  является максимальной.

Ответ: =12, =3, .

Компьютерный счет

Программа на MATLAB представлена ниже:

%Задание количества неизвестных

n=input('Введите n=');

%Задание количества ограничений

m= input('Введите m=');

g= input('введите g=');

s= input('введите s=');

%Формирование вектора коэффициентов функции цели

c=[s;g];

%Формирование матрицы коэффициентов ограничений

A=[-1/g -1/s; -s 2*g; 2*s -g];

%Формирование вектора правых частей ограничений

b=[-0.25; g*s ; g*s];

%Распечатка исходных данных

disp('Вектор коэффициентов функции цели, с');

fprintf('%12.4f \n',c);

disp('Матрица коэффициентов ограничений, A');

for k=1:m

fprintf('%12.4f',A(k,:));

fprintf('\n')

end

disp('Вектор правых частей ограничений, b ');

fprintf('%12.4f \n',b);

%Задание вектора ограничений снизу на координаты

lb= zeros(2,1);

%Обращение к функции MATLAB для решения зпадачи

%линейного программирования

[x,z]=linprog(-c,A,b,[],[],lb);

%Распечатка результатов

disp('Вектор решения, x');

fprintf('%12.4f \n',x);

fprintf('Максимальное значение функции цели,z=%12.4f',z);

Результаты расчета

Введите n= 2

Введите m= 3

введите g= 3

введите s=12

Вектор коэффициентов функции цели, с

12.0000

 3.0000

Матрица коэффициентов ограничений, A

-0.3333 -0.0833

-12.0000 6.0000

24.0000 -3.0000

Вектор правых частей ограничений, b

-0.2500

36.0000

36.0000

Optimization terminated.

Векторрешения, x

3.0000

12.0000

Максимальное значение функции цели,z= -72.

Контрольные вопросы к практической работе 13

1. Задача линейного программирования. Основные понятия. Примеры

2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

3. Решение задачи линейного программирования

4.Найти (если есть) min и max функции  при ограничениях:

5. Найти  (если есть)min и max функции  при ограничениях:

Оглавление

Введение. 2

Тема 1 Простейшие вычисления в MATLAB Арифметические выражения. 3

Тема 2 Логические выражения. Условный оператор. 7

Тема 3. Определение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и построение ее графика. 12

Тема 4 Вычисление суммы.. 15

Тема 5 Массивы.. 19

Тема 6 Вычисление скалярного произведения векторов. 23

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ... 27

Тема 7 Решение задач методом Гаусса. 27

Тема8 Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений. 35

Тема 9 Методы вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. 42

Тема 10Методы численного интегрирования. 45

Тема 11 Методы решения нелинейных уравнений. 50

Тема 12 Метод наименьших квадратов (МНК) 55

Тема 13 Задача линейного программирования. 58