Тема8Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений

Общая схема итерационного процесса

Итерационные методы решения системы уравнений состоят в построении последовательности векторов по какому-либо алгоритму, такому, что из следует . При этом

 ,где  – точное решение системы.

Вычисления ведутся до тех пор, пока не станет , где e – малое положительное число (заданная точность). С точностью до e решение принимается равным .

Метод Зейделя и метод простой итерации

Пусть задана система уравнений:

.

Выразим x_i через остальные члены i-го уравнения:

.

Полученная запись СЛАУ приводит к двум итерационным процессам:

Метод простой итерации

,

(8.1)

Метод Зейделя

, .

(8.2)

При этом  задается,  ( ),  – номер итерации.

Процесс ведется до выполнения условия .

Достаточный признак сходимости обоих методов состоит в выполнении условия "диагонального преобладания":

,

(8.3)

где .

Пример решения практической работы 8

Рассмотрим подробно решение системы уравнений итерационными методами:

I этап– проверка выполнения сходимости.

Проверяем условие диагонального преобладания.

1-ое уравнение: 4>1+1=2 –выполняется;

2-ое уравнение: 2<1+5=6 –- не выполняется;

3-е уравнение: |-1|<1+6=7 – не выполняется.

Таким образом, условие диагонального преобладания для исходной системы уравнений не выполняется и поэтому не может быть гарантирована сходимость итерационных методов к решению. Для данной системы можно добиться выполнения этого условия перестановкой 2-го и 3-го уравнений:

II этап–итерационный процесс.

1) Метод простой итерации.

Схема пересчета для этого метода имеет вид:

,

Начальное приближение примем равное нулю: .

Выполним 3 шага.

1-й шаг (k=0):

Вычислим невязку

2-й шаг (k=1):

3-й шаг (k=2):

 .

Ответ:

Решение в системе MATLAB методом простой итерации

Для решения СЛАУ методом простой итерациисоздается М-файл. Ниже приведен текст М-файла.

A=input('Введите матрицу A=');

b=input('Введите вектор b=');

eps=input('Укажите точность вычислений eps=');

kmax=input('Укажите предельное количество итераций kmax=');

n=length(b);

fprintf('\n Матрица коэффициентов СЛАУ (Матрица A)\n');

for i=1:n

fprintf('%6.2f',A(i,:));

fprintf('\n');

end

fprintf('\nВекторправыхчастейСЛАУ (Векторb) \n');

fprintf('%6.2f \n',b);

%% начальное приближение

x=zeros(n,1);

for k=1:kmax

z=zeros(n,1);

for i=1:n

    s(i)=b(i);

    for j=1:n

        if(i~=j)

            s(i)=s(i)-A(i,j)*x(j);

        end

    end

    s(i)=s(i)/A(i,i);

    z(i)=z(i)+abs(x(i)-s(i));

x1(i)=s(i);

end

if(max(z)<eps)

    x=x1;

    break;

else

    x=x1;

end

end

fprintf('\n Решение СЛАУ по методу простой итерации \n');

fprintf('%6.2f \n',x);

fprintf('\n Число итераций k=%3d \n',k);

Результаты расчета в командном окне приeps=0.001, kmax=100:

Матрица коэффициентов СЛАУ (Матрица A)

4.00 1.00 1.00

1.00 6.00 -1.00

1.00 2.00 5.00

Вектор правых частей СЛАУ (Вектор b)

9.00

 10.00

 20.00

Решение СЛАУ по методу простой итерации

1.00

2.00

3.00

Число итераций k= 7

2) Метод Зейделя. Схема пересчета для этого метода имеет вид:

Начальное приближение:

1-й шаг (k=0):

2-й шаг (k=1):

3-й шаг (k=2):

Ответ: