Вычисление определителя матрицы системы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы А называется число, равное сумме произведений элементов произвольной i-ой строки или k-ого столбца на их алгебраические дополнения:

(8.1)

В прямом ходе метода Гаусса определитель верхнетреугольную матрицы можно вычислить как произведение диагональных (ведущих) элементов полученной треугольной матрицы, т.е.

(8.2)

7.4 Обратная матрица .

Если A является квадратной матрицей, то обратнойпо отношению к A называется матрицы, которая приумножении на A как слева, так и справа дает единичную матрицу:

где   – единичная матрица.

Если обратная матрица существует, то матрица A называется обратимой. Для того чтобы квадратная матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. ее определитель был отличен от нуля .

Пример решения практическойработы7

Часть 1

Решение СЛАУ методом Гаусса

Дана СЛАУ

Расширенная матрица имеет вид

Ручной счет

Прямой ход

На 1-ом шаге прямого хода:

а) Из 2-ой строки вычитаем 1-ую, умноженную на 1/2;

б) Из 3-ей строки вычитаем 1-ую, умноженную на 5/2.

В результате после первого шага получаем

На 2-ом шаге прямого хода:

а) Из 3-ей строки вычитаем 2-ую, умноженную на 17/7.

В результате после второго шага получаем

Обратный ход

Эквивалентная система с треугольной матрицей имеет вид:

Вычисление неизвестных:

из 3-го уравнения:	;
из 2-го уравнения:	;
из 1-го уравнения:	.

Ответ: .

Часть 2

Определение обратной матрицы методом Гаусса

Рассмотрим этот способ на примере матрицы А.

Соответствующая расширенная матрица имеет вид

Прямой ход метода Гаусса по всей расширенной матрице

После первого шага получаем

После второго шага получаем

Определитель матрицы

Обратный ход выполняем отдельно по каждой правой части расширенной матрицы, полученной в результате прямого хода.

Эквивалентная система относительно элементов 1-го столбца обратной матрицы имеет вид:

из 3-го уравнения:
из 2-го уравнения:
из 1-го уравнения:

Эквивалентная система с треугольной матрицей относительно элементов 2-го столбца обратной матрицы имеет вид:

из 3-го уравнения:
из 2-го уравнения:
из 1-го уравнения:

Эквивалентная система с треугольной матрицей относительно элементов 3-го столбца обратной матрицы имеет вид:

из 3-го уравнения:
из 2-го уравнения:
из 1-го уравнения:

Ответ: .

Компьютерный счет выполнения работы 7

Для выполнения вычислений создается М-файл. Ниже приведен текст М-файла.

A=input('Введите матрицу A=');

b=input('Введите вектор b=');

n=length(b);

disp('Матрицакоэффициентов СЛАУ (Матрица A)');

for i=1:n

fprintf('%6.2f',A(i,:));

fprintf('\n');

end

disp('Вектор правых частей СЛАУ (Вектор b)');

fprintf('%12.4f \n',b);

d=det(A);

disp(‘Oпределитель матрицы A’);

fprintf('%12.4f \n',d);

Ainv=inv(A);

disp('Обратнаяматрица');

for i=1:n(1)

fprintf('%12.4g',Ainv(i,:));

fprintf('\n');

end

x=A\b;

disp('Решение СЛАУ (Вектор x)');

fprintf('%12.4f \n',x);

Результаты расчета в командном окне:

Матрица коэффициентов СЛАУ (Матрица A)

2.00 -3.00 1.00

1.00 2.00 -6.00

5.00 1.00 1.00

Вектор правых частей СЛАУ (Вектор b)

-1.0000

-10.0000

3.0000

Определитель матрицы A

100

Обратная матрица

0.08 0.04 0.16

-0.31 -0.03 0.13

-0.09 -0.17 0.07

Решение СЛАУ (Вектор x)

0.0000

1.0000

2.0000

Контрольные вопросы к практической работе 7

1.Напишите программу длясвоей задачи с использованием формул (7.3) и (7.4).

2. Как изменится величина определителя, если к элементам некоторой строки (или некоторого столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца) матрицы, умноженные на произвольный множитель. Поясните свой ответ на примере с использованием MATLAB.

3. Как изменится величина определителя, если к элементам некоторой строки матрицы прибавить соответствующие элементы строки, являющейся линейной комбинацией других строк матрицы (с какими угодно коэффициентами). Поясните свой ответ на примере с использованием MATLAB.

4. Как изменится величина определителя при перестановке местами двух строк (или двух столбцов) матрицы. Поясните свой ответ на примере с использованием MATLAB.

5. Как изменится величина определителя при умножении всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) матрицы на одно и тоже число. Поясните свой ответ на примере с использованием MATLAB.

6. Как изменится величина определителя притранспонировании матрицы.Поясните свой ответ на примере с использованием MATLAB.

7. На примере с использованием MATLAB покажите, чему равен Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (или столбцами).

8.Дана матрица . Вычислить определитель матрицы, минор  и алгебраическое дополнение  для элемента