Решение в системе MATLAB методом Зейделя

Для решения СЛАУ методом Зейделя создается М-файл. Ниже приведен текст М-файла.

A=input('Введите матрицу A=');

b=input('Введите вектор b=');

eps=input('Укажите точность вычислений eps=');

kmax=input('Укажите предельное количество итераций kmax=');

n=length(b);

fprintf('\n Матрица коэффициентов СЛАУ (Матрица A)\n');

for i=1:n

fprintf('%6.2f',A(i,:));

fprintf('\n');

end

fprintf('\nВекторправыхчастейСЛАУ (Векторb) \n');

fprintf('%6.2f \n',b);

%% начальное приближение

x=zeros(n,1);

for k=1:kmax

z=zeros(n,1);

for i=1:n

    s(i)=b(i);

    for j=1:n

        if(i~=j)

            s(i)=s(i)-A(i,j)*x(j);

        end

    end

    s(i)=s(i)/A(i,i);

    z(i)=z(i)+abs(x(i)-s(i));

    x(i)=s(i);

end

if(max(z)<eps)

break;

end

end

fprintf('\nРешениеСЛАУпометодуЗейделя \n');

fprintf('%6.2f \n',x);

fprintf('\n Число итераций k=%3d \n',k);

Результаты расчета в командном окне приeps=0.001, kmax=100:

Матрица коэффициентов СЛАУ (Матрица A)

4.00 1.00 1.00

1.00 6.00 -1.00

1.00 2.00 5.00

Вектор правых частей СЛАУ (Вектор b)

9.00

 10.00

 20.00

Решение СЛАУ по методу Зейделя

1.00

2.00

3.00

Число итераций k= 6

Контрольные вопросы к практической работе 8

1. Сформулируйте достаточный признак сходимости итерационных методов.

2. Выполняется ли условие «диагонального преобладания» для системы линейных уравнений ?

3. Сформулируйте условие завершения итерационного процесса нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений.

4. В чем принципиальное отличие метода простой итерации и метода Зейделя при решении системы линейных алгебраических уравнений?

5. Найдите значения переменных  и  на первых двух итерациях при решении СЛАУ  методом простой итерации.

6. Найдите значения переменных  и  на первых двух итерациях при решении СЛАУ  методом Зейделя.

Тема9Методы вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

Определение максимального по модулю собственного числа степенным методом.

Степенной методопределения максимального собственного числа состоит в следующем.

Пусть для определенности

1). Задается .

2). Последовательно вычисляется  по формулам k-го шага:

k-й шаг:

(9.1)

Вычисление ведется до тех пор, пока не станет . Тогда получим, что .

Пример решения практическойработы9

Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы

Рассмотрим пример нахождения собственных значений и собственных векторов для симметричной матрицы.

Пусть задана матрица

Ручной счет

Задаем начальное приближение:  .

Выполняем 0-йшаг:

 .

Выполняем 1-йшаг:

Выполняем 2-йшаг:

Выполняем 3-йшаг:

.

Оценка погрешности: 0,155 ( ) .

Ответ: , .

Выполнение работы 9 на ЭВМ в системе MATLAB

Для выполнения создается М-файл. Ниже приведен текст М-файла.

A=input('Введите матрицу A=');

n=size(A);

A=1/6*A;

fprintf('\nИсходнаяматрица (МатрицаA) \n');

for i=1:n

fprintf('%6.2f',A(i,:));

fprintf('\n');

end

[T,J]=eig(A);

x=diag(J);

fprintf('\n Вектор собственных чисел \n');

fprintf('%6.2f \n',x);

fprintf('\n Матрица собственных векторов \n');

for i=1:n

fprintf('%12.4g',T(i,:));

fprintf('\n');

end

Результаты расчета в командном окне

Исходная матрица (Матрица A)

2.00 -3.00 1.00

 -3.00 6.00 -3.00

1.00 -3.00 2.00

Вектор собственных чисел

0.00

1.00

9.00

Матрица собственных векторов

0.5774 -0.7071 0.4082

0.5774 0      -0.8165

0.5774 0.7071 0.4082

Контрольные вопросы к практической работе 9

1. Какая матрица называется симметричной?

2. Что такое собственные числа и собственные векторы матрицы?

3. Проверить, является ли вектор  собственным вектором, а число  собственным числом матрицы .

4. Вычислить произведение матрицы  и вектора .

5. Сформулируйте условие окончания процесса определения максимального собственного числа степенным методом.