Уравнения с одним неизвестным

Пусть на участке  задана непрерывная функция  (см. рис. 11.1).

Рис. 11.1 График уравнения

Требуется найти корни уравнения

1. Достаточным признаком того, что на отрезке  существует корень, является выполнение условия  (т.е. функция меняет знак на рассматриваемом отрезке).

2. Достаточным признаком единственности корня на отрезке является постоянство знака производной на этом отрезке (т.е. монотонность функцииf).

Метод половинного деления

Алгоритм метода половинного деления кратко представлен ниже.

,  начальные значения;

0–ой шаг: 

, , ;

k–ый шаг:

, , ;

(11.2)

Окончание вычислений происходит при достижении заданной точности (условие окончания счета):

(11.3)

тогда приближенное значение корня определяется в виде

(11.4)

Метод Ньютона

Геометрическая интерпретация. Метод Ньютона известен также, как метод касательных.Геометрическую интерпретацию итераций по методу Ньютона при заданном начальном приближении корняx₀представлена на рисунке.Отсюда получается основная формула метода Ньютона

, .

Заметим, что в практических задачах критерием окончания счета часто является условие

.

(11.5)

Величина

(11.6)

называется невязкой. Она свидетельствует, насколько точно удовлетворяется исходное уравнение.

Пример выполнения практическойработы 11

Решение нелинейных уравнений

Задание.

Задан полином третьей степени .

1. Вычислить корень полинома на отрезке  методом половинного деления и методом Ньютона вручную.В критериях окончания счета для обоих методов принять  .

2. Вычислить корень полинома на отрезке  на ЭВМ методом половинного деления или методом Ньютона (по указанию преподавателя). В критериях окончания счета на ЭВМ для обоих методов принять

Пример выполнения практической работы 11.

Найти на отрезке  корни полинома

.

Ручной счет

а) Метод половинного деления.

Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу 11.1)

Таблица 11.1

Расчет методом половинного деления

0	0	3.0	1.5	-2.92	9.79	0.5	3.0
1	0	1.5	0.75	-2.92	0.51	-0.67	1.5
2	0.75	1.5	1.125	-0.67	0.51	-0.11	0.75
3	1.125	1.5	1.3125	-0.11	0.51	0.173	0.375
4	1.125	1.3125	1.218	-0.11	0.173	0.0267,что меньшеe=0.1	0.187» 0.06(b-a)

Ответ:

Б) Метод Ньютона.

Расчет сведен в табличную форму (см. таблицу 11.2), при этом

,где , ,

 – начальное приближение

Таблица 11.2

Расчет методом половинного деления

					| |
0	3.0	9.79	12.64	2.22	0.78
1	2.22	3.01	5.45	1.67	0.55
2	1.67	0.89	2.52	1.32	0.35
3	1.32	0.18	1.62	1.20	0.12
4	1.20	0	критерий окончания расчета

Ответ:

Выполнение задачи в MATLAB.

1. Решение нелинейного уравнения методом половинного деления.

Для выполнения задания создается М-файл. Ниже приведен текст М-файла.

function Lab_3_6_1

a=input('Введите a=');

b=input('Введите b=');

eps=input('Введите eps=');

kmax=100;

for k=1:kmax

    c=(a+b)/2;

    y=f(c);

    if(f(a)*y>0)

        a=c;

    else

        b=c;

    end

    if((b-a)<=eps)|(y==0)|(k>=kmax)

        x=c;

        break;

    end

end

fprintf('\nКореньуравненияx=%10.3f',x);

fprintf('\n f(x)=%12.4g',y);

fprintf('\n Количество итераций k=%3d',k);

end

functiony=f(x)

y=x^3-3.2*x^2+4.84*x-2.928;

end

Результаты расчета в командном окне при a=0, b=3, eps=0.001:

Корень уравнения x= 1.200

f(x)= 0.0006505

Количество итераций k= 12

2. Решение нелинейного уравнения методом Ньютона.

Для выполнения расчета создается М-файл. Ниже приведен текст М-файла.

function Lab_12

xk=input('Введитеxk=');

eps=input('Введите eps=');

kmax=100;

for k=1:kmax

     y=f(xk);

    y1=f1(xk);

    xk1=xk-y/y1;

    if(abs(xk1-xk)<eps)|(k>kmax)

        break;

    end

    xk=xk1;

end

y2=f(xk1);

fprintf('\n Корень уравнения x=%10.3f',xk1);

fprintf('\n f(x)=%12.4g',y);

fprintf('\n Количество итераций k=%3d',k);

end

function y=f(x)

y=x^3-3.2*x^2+4.84*x-2.928;

end

function y1=f1(x)

y1=3*x^2-6.4*x+4.84;

end

Результаты расчета в командном окне при xk=1.5, eps=0.001:

Корень уравнения x= 1.200

f(x)= 0.0009755

Количество итераций k= 3

Контрольные вопросы к практической работе 11

1. Сформулировать достаточный признак существования корня уравнения на отрезке .

2. Сформулировать достаточный признак единственности корня уравнения на отрезке .

3. Напишите основную формулу метода Ньютона для вычисления корня уравнения на текущей итерации.

4. Определить интервал существования единственного корня нелинейного уравнения

и найти корень по методу половинного деления с точностью 0.0001.

5. Задать начальное приближение корня нелинейного уравнения

и найти корень по методу Ньютона с точностью 0.0001.