Моделирование гидродинамических процессов.

Основные положения

В ряде случаев аналитическое решение задач гидромеханики сопряжено со значительными математическими трудностями, а часто строгая математическая постановка задачи оказывается невозможной из–за сложности исследуемого явления; не всегда можно получить удовлетворительный результат и с помощью численных методов. В таких случаях на помощь приходят экспериментальные исследования на моделях реальных объектов. Для создания гидравлических моделей требуется знание общих законов механического подобия.

Сначала определим само понятие подобия. В элементарной геометрии дается следующее определение подобия многоугольников: одноименные многоугольники (с одинаковым числом сторон) подобны, если у них соответственные углы равны и сходственные стороны пропорциональны. То есть параметры одного из многоугольников могут быть получены из соответствующих параметров другого путем специального преобразования, при котором сходственные углы остаются одинаковыми, а сходственные стороны умножаются на некоторый постоянный коэффициент (масштаб).

Аналогично и для гидравлических явлений. Два явления называются физическими подобными, если по заданным характеристикам одного из них можно получить соответствующие характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц к другой.

В гидравлике рассматривают геометрическое подобие, кинематическое подобие и динамическое (механическое) подобие.

Геометрическое подобие. Две системы называются геометрически подобными, если отношение между всеми соответствующими размерами одинаково, а сходственные углы равны. Математически указанные соотношения геометрического подобия выражаются равенствами:

                              (9.1)

где  - некоторый произвольный размер натурного объекта;

 – соответствующий размер модели;

 – масштаб геометрического подобия;

 - соответствующие углы натуры и модели.

Отношения площадей и объемов можно выразить через масштаб геометрического подобия

Кинематическое подобие. Движение двух систем будет кинематически подобным, если отношения скоростей всех соответствующих частиц жидкости равны между собой, а траектория движения обеих систем геометрически подобны. Таким образом, для кинематического подобия необходимо наличие геометрического подобия и, кроме того, постоянство отношения отрезков времени, требующихся для прохождения соответствующими частицами соответствующих расстояний, т.е.

                     (9.2)

где  – масштаб кинематического подобия или масштаб времени.

Действительно, скорость частиц жидкости можно предоставить в виде , тогда отношение скоростей имеет вид

Через эти же величины выражаются и остальные кинематические параметры потока. Так, отношение ускорений и отношение расходов будут иметь следующий вид:

Динамическое подобие. Две системы называются динамически подобными, если равны отношения между соответствующими силами, которые влияют на движение соответствующих частиц жидкости. Динамическое подобие дополнительно требует соблюдения соотношений (9.1), (9.2) и

,                    (9.3)

где  - масштаб динамического подобия или масштаб сил.

Согласно основному закону динамики Ньютона: сила равна массе умноженной на ускорение, следовательно, для сил, действующих на соответствующие частицы в натуре и модели можно записать

 ;  .

Подставив данные соотношения в выражение (9.3), получим связь между четырьмя основными отношениями (масштабами), характеризующими подобие механических систем

или

.   (9.4)

Уравнение (9.4) определяет условия для получения строгого динамического подобия двух соответствующих систем.

Равнодействующая сила, вызывающая ускорение частицы жидкости, складывается из систем различных сил, причем одни могут преобладать над другими. В общем случае это сила тяжести, сила инерции, сила давления, сила трения и др.

Если движение вызывается одновременным действием нескольких сил, то решение задачи подобия или моделирования на уменьшенной модели сильно усложняется.

 Пусть на жидкость действует две равноправных силы:

массовая сила пропорциональная массе жидкости, а для однородных жидкостей – пропорциональна объему

                 (9.5)

где  - плотность;

а – ускорение;

w – объем жидкости,

и поверхностная сила пропорциональная площади, на которую она действует, т.е.

А = р ,                   (9.6)

где р – единичная сила или давление;

 - площадь действия силы. 

Чтобы создать геометрически подобную модель рассматриваемого явления, для которой масштаб геометрического подобия составляет , на уменьшенной модели соответствующие геометрические элементы уменьшаются против натурных: длины в 1/  раз, площади в 1/ , а объемы в 1/ . Теперь для одинаковых жидкостей в натуре и модели можно установить изменение действующих сил. Так массовые силы, уменьшатся в 1/  раз, а поверхностные силы в 1/  раз. Следовательно, в созданной модели нарушится соотношение между действующими силами, что приведет к искажению наблюдаемого явления, а результаты измерений на модели не могут быть распространены на соответствующие данные натуры.

На практике обычно исследуется действие одной силы, которая является главной в изучаемом явлении. Действием второстепенных сил пренебрегают.