Истечение жидкости при переменном уровне

Значительный интерес представляет истечение жидкости при переменном уровне. Подобные задачи встречаются при вытекании жидкости из баков, бассейнов, резервуаров. Обычно требуется определить время, необходимое для опорожнения (или наполнения) той или иной емкости.

Рассмотрим простейший случай истечения жидкости в атмосферу через отверстие площадью  в дне сосуда призматической формы (рис. 7.4) площадью . Движение жидкости при этом является неустановившимся, т.к. напор изменяется с течением времени, а следовательно, меняется со временем и расход вытекающей жидкости.

Рис.7.4

Допустим, что уровень в данный момент времени находится на высоте h. За бесконечно малое время dt, в течение которого уровень в сосуде опустится на величину dh, течение можно считать установившемся. За это время из отверстия вытекает объем жидкости dW=Qdt,

или              .                                             (7.20)

С другой стороны, этот объем можно представить в виде

                        .                                                (7.21)

Приравнивая формулы (7.21) и (7.20), получим

            откуда .

Для определения времени опорожнения сосуда от уровня Н₁ до уровня Н₂ интегрируем это уравнение от h=H₁ до h=Н₂

                             (7.22)

При полном опорожнении сосуда Н₂=0, а следовательно,

                                   (7.23)

где  - расход, вытекающий при постоянном напоре Н₁;  - время, требуемое для того, чтобы тот же объем жидкости вытек из сосуда при сохранении постоянного уровня.

Таким образом время вытекания жидкости при переменном напоре в два раза >, чем время вытекания при постоянном напоре Н₁.

Для резервуара с переменной площадью поперечного сечения  уравнение (7.23) принимает вид

                           .                                        (7.24)

           7.3. Истечение жидкости через насадки

В том случае, если стенка, через отверстие в которой происходит истечение, имеет значительную толщину по сравнению с размерами отверстия, то характер истечения существенным образом меняется, поскольку стенка влияет на направление струи. Аналогичный эффект наблюдается, если к отверстию в тонкой стенке присоединить короткую трубку того же диаметра, что и отверстие. Такие трубки длиной не менее 2,5-3 диаметров отверстия называются насадками или соплами. Присоединение насадка к отверстию изменяет расход вытекающей жидкости, и следовательно, изменяет время опорожнения сосуда.

Рассмотрим наружный цилиндрический насадок (рис. 7.5). Струя жидкости при входе в насадок сжимается, затем расширяется и заполняет все его сечение. В промежутке между сжатым сечением и стенками насадка образуется вихревая зона. Так как струя выходит из насадка полным сечением, то

            Рис. 7.5             коэффициент сжатия струи =1, а коэффициент расхода , т.е. для
насадка коэффициент расхода и коэффициент скорости имеют одинаковую величину.

Составим уравнение Бернулли для сечения 1-1 и 2-2, показанных на рис.7.5.

Принимая  и что

                   преобразуем уравнение к следующему виду

                       .                                       (7.25)

Потери напора в насадке складываются из потерь на вход в насадок и на внезапное расширение сжатой струи внутри насадка, т.е.

           .                                  (7.26)

Из уравнения неразрывности имеем

                    .                                             (7.27)

Подставляя выражение (7.27) в формулу (7.26), получим

                                             (7.28)

 - к – т сопротивления сопла.

Уравнение (7.25) с учетом (7.28) запишется в виде

а скорость истечения из насадка

                                                                   (2.29)

где введено обозначение

                              .                                        (7.30)

Для расхода получим формулу

                       .

Сравнивая ее со стандартной формулой , приходим к заключению, что

                              .                                                (7.31)

Таким образом формулы скорости и расхода для насадка имеют тот же вид, что и для отверстия в тонкой стенке, но значения коэффициентов будут другими.

При истечении с большими числами Re ( =0), получаем следующее значение коэффициента расхода

                  0,845 .                                             (7.32)

При истечении воды и воздуха в обычных условиях опыт показывает, что

                    0,82.                                                  (7.33)

Сравнивая коэффициенты расхода и скорости для насадка и отверстия в тонкой стенке, видим, что насадок увеличивает расход (более чем на 35%) и уменьшает скорость истечения примерно на 15%.

Действительно, для больших значений Re отношение  и .

Для насадка характерно, что давление в сжатом сечении внутри насадка меньше атмосферного. Для определения величины вакуума в сжатом сечении насадка запишем уравнение Бернулли, связывающее это сечение с выходным сечением

     ,                          (7.34)

где   - потери напора на внезапное расширение струи.

Далее получаем

Принимая во внимание, что

имеем            

или                    .               (7.35)

При истечении воды обычно принимают 0,75Н. В соответствии с уравнением (7.35) вакуум зависит от напора, возрастая с его увеличением. Предельное значение величины  составляет 10,33м вод. столба, это соответствует предельной величине напора Н_пр=11,6м. При увеличении напора сверх Н_пр происходит отрыв струи от стенок и насадок начинает работать как отверстие в тонкой стенке (вакуум исчезает).

                 8. Гидравлический удар

Явление резкого повышения давления в трубопроводе при внезапном его перекрытии носит название «Гидравлического удара». Процесс этот очень быстротечен, и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления.

Исследование гидроудара в трубах впервые было выполнено Н.Е.Жуковским.

Гидравлический удар, по Н.Е.Жуковскому, представляет собой сложный физический процесс возникновения и распространения ударной волны. Пренебрегая рядом факторов, в том числе потерями напора, процесс гидроудара можно представить так. Пусть из резервуара вытекает поток жидкости и движется по горизонтальной трубе со скоростью . На расстоянии  от входного сечения (рис.8.1) находится задвижка, которую можно закрыть как угодно быстро.

 Предположим, что это закрытие происходит мгновенно. В этом случае частицы жидкости, которые непосредственно соприкасаются с поверхностью задвижки, мгновенно остановятся, затем остановится ближайший к ним слой жидкости. Произойдет очень быстрое сжатие этого слоя, и давление в нем увеличится.

Рис. 8.1

Затем остановится и сожмется следующий слой жидкости, и в нем также увеличится давление, далее сжатие жидкости, сопровождающееся увеличением давления, будет распространяться по всей длине трубы в направлении от задвижки к резервуару.  

Пусть за время  повышенное, т.е. ударное давление достигнет резервуара. Если обозначить расстояние от резервуара до задвижки через , то скорость распространения ударного давления

                                             .  

Величину С называют скоростью ударной волны. В момент достижения ударной волны входного отверстия вся вода в трубе окажется сжатой, скорости всех частиц равными нулю и давление повышенным против первоначального, т.е. большим давления, которое обусловлено уровнем воды в резервуаре. Вследствие этого начнется отток жидкости из трубы в резервуар и постепенно вся жидкость в трубе придет в движение в направлении к резервуару, что приведет к падению давления до его первоначального значения. Когда это давление достигает задвижки, жидкость движется в трубе в сторону резервуара с некоторой скоростью. В следующий момент времени начинается ее постепенная остановка, начиная от сечения у задвижки, при этом происходит понижение давления. Когда скорость по всей трубе станет равной нулю, пониженное давление достигнет входного сечения трубы. После этого, начинается послойное восстановление движения с первоначальной скоростью в сторону задвижки. Через промежуток времени  эту начальную скорость  приобретает последний слой жидкости (у задвижки), и явление «гидравлического удара» повторяется. В действительности вследствие того, что стенки трубы обладают упругостью, упругостью также обладает движущаяся жидкость и существует трение между слоями жидкости, колебания в трубопроводе затихают.

Определим величину повышения давления  в горизонтальной трубе у задвижки при мгновенном ее закрытии. Составим уравнение количества движение для всей массы жидкости в трубопроводе. Количество движения в момент времени t равно

                           .                                    (8.1)

В момент времени t+  количество движения будет равно нулю, т.к. в этот момент времени все частицы указанной массы останавливаются

                         .

Приращение количества движения за время

                .                             (8.2)

Определим сумму импульсов всех сил, действующих на эту массу в течение времени . Импульсы силы тяжести и силы давления со стороны стенок трубы равны нулю, т.к. эти силы нормальны оси трубопровода. Силы давления на торцевые сечения дают в сумме импульс, равный

  .                   (8.3)

Пренебрегая импульсами касательных напряжений вследствие их малости, имеем

                         ,

откуда                       .                                            (8.4)

Принимая во внимание, что  - скорость распространения ударной волны, величина скачка давления определится по формуле Н.Е.Жуковского

                                     .                                          (8.5)

Таким образом, величина скачка давления  зависит от начальной скорости движения воды в труде и скорости распространения ударной волны. При абсолютно жестких стенках трубопровода скорость распространения ударной волны совпадает со скоростью распространения звука в жидкости

, где  - модуль упругости жидкости.

Для воды E₀=1,96_*10⁹Па и

Для упругих стенок трубопроводов, имеем

, где  - кажущийся модуль упругости жидкости;

d- диаметр трубы;

Е – модуль упругости материала стенок трубопровода (для стали Е=1,96_*10¹¹Па);

 - толщина стенок трубопровода.

Таким образом, величина скачка давления определится как

                           .                              (8.6)

Анализируя формулу (8.6), можно сделать вывод, что чем < модуль упругости материала стенок и чем > диаметр трубопровода и < толщина стенок, тем < величина гидравлического удара.

Общее время пробега прямой и отраженной волн составляет длительность фазы гидроудара

                           .                                                     (8.7)

Далее циклы повышения и понижения давления будут чередоваться с промежутками времени  до тех пор, пока под влиянием гидравлических сопротивлений этот колебательный процесс не затухнет.

В том числе, если длительность фазы гидроудара < чем время полного закрытия задвижки , то интенсивность скачка давления определится как

                         .                                               (8.8)

Различают прямой гидравлический удар, если  и непрямой, если .

Способы предотвращения и смягчения гидроудара:

1) устранение возможности прямого гидроудара, что сводится к увеличению времени срабатывания кранов и др. устройств;

2) установкой перед этими устройствами демпфирующих воздушных колпаков, гидроаккумуляторов или предохранительных клапанов.

Для газопроводов и воздухопроводов величина гидроудара обычно мала.