Проверка статистических гипотез

Статистика Jarque–Bera (JB) предназначена для проверки нулевой гипотезы о нормальном законе распределения для значений рассматриваемой переменной. Статистика (JB) в EViews рассчитывается из соотношения

JB = (n-k)

где S – асимметрия; К – эксцесс; n – объём выборки; k – число оцениваемых параметров, используемых для создания временного ряда. Известно, что для нормального закона распределения S = 0, К = 3, тогда и JB = 0. JB-статистика в предположении верности нулевой гипотезы имеет (2)-распределение. Поскольку в нашем примере (рисунок 2.3) вероятность (Probability) для обеих переменных меньше 0.05, то на 5%-ом уровне значимости гипотеза о нормальном законе распределения отклоняется.

При необходимости в меню «View»можно выбрать процедуру проверки гипотез о равенстве средних арифметических, медиан, дисперсий рассматриваемых переменных (Tests of Equality…) или рассчитать матрицу парных коэффициентов корреляции (Correlations) и т.д. (рисунок 2.1).

Например, результаты теста на равенство средних арифметических уровней двух временных рядов Y и YF выглядит следующим образом    (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Тест на равенство средних уровней двух рядов

Как видно из отчёта (рисунок 2.4), этот тест реализован в виде процедуры дисперсионного анализа. Как известно, если сравниваются средние арифметические двух совокупностей, то достаточно рассчитать t-статистику, а в случае более чем двух совокупностей используется процедура дисперсионного анализа, высчитывающая F-статистику, которая сравнивает две оценки общей дисперсии в случае равенства средних всех совокупностей и без этого предположения. Существенное различие этих оценок «говорит» о том, что не все средние равны.

В случае двух совокупностей F-статистика равна квадрату t-статистики (сравните в верхней части отчёта). Здесь проверяется нулевая гипотеза о равенстве средних арифметических двух совокупностей, поэтому большое значение расчётного уровня значимости (Probability = 0,7852 > 0.05) означает, что эта гипотеза не отклоняется. В центральной части отчёта приведены расчёты для вычисления F-статистики, а в нижней части – расчёты, касающиеся средних арифметических анализируемых совокупностей.

В заключение рассматриваемого раздела проиллюстрируем проверку гипотезы о независимости двух категориальных переменных на основе сравнения частот двух таблиц сопряжённостей по критерию  (хи-квадрат). -статистика рассчитывается из соотношения , где  – наблюдаемые частоты,  – ожидаемые частоты. Другие критерии, кроме χ², приведённые в отчёте (рисунок 2.5), здесь не обсуждаются.

Рисунок 2.5 – Проверка гипотезы о независимости двух категориальных переменных

Для проверки обсуждаемой гипотезы после открытия двух категориальных переменных выберем процедуру «View/N-Way Tabulation…» и в диалоговом окне выберем нужные опции (например, расчёт ожидаемых частот и процентов от всей таблицы, как это указано в заголовке таблицы). После этого получим таблицу сопряжённостей (рисунок 2.5). В нашем примере проверяется гипотеза о независимости года выпуска 155 автомобилей (YEAR) от места их производства (ORIGIN). Переменная YEAR имеет пять уровней, а ORIGIN – три. В приведённой таблице в каждой позиции рассчитаны наблюдаемые частоты, их проценты от общего объёма выборки и ожидаемые частоты в предположении независимости рассматриваемых переменных.

В отчёте среди прочих статистик приведено значение -статистики Пирсона (Pearson X2 = 24,69332) с указанием числа степеней свободы     (df = 8) и расчётного уровня значимости (Prob = 0,0018). Значение уровня значимости, меньшее 0,05, указывает на то, что гипотезу о независимости надо отклонить, т.е. возраст машин, выпущенных в разных местах, различается значимо.

Несколько иные процедуры предусмотрены в меню «View», когда выделяется только одна переменная (на рисунке 2.6 выбрана переменная у). Так, например, выбрав «View/Descriptive Statistics/Histogram and Stats» (рисунок 2.6), в отчёте кроме описательных статистик Вы получите гистограмму распределения значений анализируемой переменной.

Рисунок 2.6 – Анализ одной переменной

Здесь же можно проверить гипотезы о значении средней арифметической, медианы и дисперсии, выбрав «Tests for DescriptiveStats».

Глава 3

Регрессионный анализ