Тема лекции № 1. Введение в эконометрику. Элементы теории вероятности и математической статистики.   

Конспект лекции:Эконометрика – наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической статистики. Эконометрика с помощью статистических и математических методов анализирует экономические закономерности, доказаные экономической теорией. Эконометрический анализ служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия обоснованных экономических решений.  Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов. Задачи эконометрики – построение экономических моделей и оценивание их параметров; проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.

Для анализа или прогноза выделяются три основных класса моделей: модели временных рядов; регрессионные модели с одним уравнением; системы одновременных уравнений. Если модель содержит только одну объясняющую переменную, т.е. k=1, она называется парной регрессией. При k>1 -  множественной регрессией.

Основу эконометрического моделирования составляют статистические данные, которые должны быть согласованы между собой и иметь единную методическую основу.  Их различают по типам. Перекрестные данные собираются по какому-либо экономическому показателю для разных объектов (фирм, стран) в один момент времени или в разные моменты в случае, когда время несущественно. Временные ряды – данные для одного объекта в различные моменты времени. Промежуточное положение занимают панельные данные, которые отражают наблюдения по большому числу объектов за небольшое число моментов времени, например, прибыли предприятий Казахстана за последние три года.

Все значения наблюдений образуют генеральную совокупность. Часть всевозможных наблюдений генеральной совокупности называют выборочной совокупностью или выборкой. Данные выборки можно представить в виде: таблицы; диаграммы рассеяния (точки с координатами ( ) наносятся на прямоугольную систему координат) и гистограммы (интервал в которую попадают все наблюдения величины  разбивают на несколько промежутков одинаковой длины. Гистограмма – это кусочно-постоянная функция).

Случайной переменной называется переменная, которая с определенной вероятностью может принимать значения из каждого заданного множества.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины. Если случайная величина может принимать конечное или счетное число значений, то это дискретная случайная величина. Например – сумма выпавших очков при бросании двух игральных костей; чизло телевизоров, проданных в магазине за один день. Перечень возыожных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей называется законом распределения дискретной случайной величины, который удобнее задавать в виде ряда распределения. Ряд распределения дискретной случайной величины обычно задается в виде таблицы

x			….
p			….

 где , , …  - все значения, которые может принимать случайная величина х с вероятностями …  соответственно.

При этом .

     Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан аналитически (в виде формулы) и графически (многоугольник распределения).

Случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого интервала, является непрерывной случайной величиной. Например –температура в комнате; максимальный биржевой курс доллара на торгах в течение дня. Непрерывная случайная величина задается функцией плотности вероятности, принимающей неотрицательные значения.

Вероятность попадания случайной величины х в интервал [а,b] равна

                                     .

Эта площадь под кривой плотности вероятности  на отрезке a,b . Поскольку какое-либо значение х реализуется, то .

Особое значение имеет нормальное распределение вероятности.

Центральная предельная теорема утверждает, что если случайную величину можно представить как сумму большого числа не зависящих друг от друга слагаемых, каждое из которых вносит в сумму незначительный вклад, то эта сумма распределена приблизительно по нормальному закону.

Числовые характеристики генеральной совокупности.

К числовым характеристикам случайной величины по генеральной совокупности относятся математическое ожидание и теоретическая дисперсия.

Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений на вероятность соответствующего исхода. Математически если случайную величину обозначить как х, то ее математическое ожидание будет обозначаться как .

Предположим, что х может принимать n конкретных значений ( ) и что вероятность получения  равна . Тогда математическое ожидание дискретной случайной величины равна

                                                         (1)

и непрерывной случайной величины: .

Например для распределения

Математическое ожидание Е(х)=1*0,3+3*0,5*5*0,2=2,8.

Математическое ожидание случайной величины называют ее средним по генеральной совокупности  и обозначается . Геометрически: математическое ожидание случайной величины – это центр ее распределения.

Свойства 1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий, т.е.

                                                                       (2)

Свойства 2. Если случайная переменная умножается на константу, то ее математическое ожидание умножается на ту же константу. Если х – случайная переменная и а – константа, то

                                                                                                        (3)

Свойства 3. Математическое ожидание константы есть сама эта величина, т.е. .

Свойства 4. .

Свойства 5. , т.к

Свойства 6. Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний n на вероятность появления события в одном испытании p, т.е.

Теоретической дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения х от ее математического ожидания , т.е.

                                                                                       (4)

Из определения дисперсии следует другая, более удобная формула ее ывчисления

Для дискретной случайной величины

                             ,

Для непрерывной случайной величины

                              .

Дисперсия является мерой рассеяния случайной величины относительно средней (центра).

Например, расчет дисперсии для дискретной случайной величины, приведенной выше имеет вид:

, .

-теоретическое стандартное отклонение, которое вычисляется путем простого извлечения квадратного корня из дисперсии.

Положительное значение  свидетельствует о наличии прямой статистической связи между х,у, а отрицательное значение  - об обратной статистической связи между х,у.

Свойства 1. Дисперсия постоянной равна нулю, т.е. , где -константа.

Свойства 2. При умножении случайной величины на константу ее дисперсия умножается на квадрат этой константы .

Свойства 3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсии .

Свойства 4.  где -постоянные.

Свойства 5. Дисперсия биномиального распределения ,

где     n - число независимых испытании;

     p - вероятность появления события в одном испытании;

    q=1-p вероятность не появления события в одном испытании.

Нормальное распределение случайной величины характеризуется двумя параметрами: средним значением  и дисперсией .

Это обозначается:

Нормальное распределение для которого математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице называется стандартным нормальным распределением и записывается в виде .