Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(задание 11)

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Дифференциальное уравнение вида , где числа (причём ), называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

,

где числа, а  и частные решения, образующие фундаментальную систему решений. 

Фундаментальную систему  и  образуют в случае, когда отношение .

Эйлером было предложено частное решение искать в виде , где . Тогда , . Подставив  в уравнение , получим

,

.

Из последнего уравнения получим , это равенство называется характеристическим уравнением. В зависимости от корней этого уравнения, общее решение находится тремя способами.

1. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два различных вещественных корня  и . Тогда общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

2. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два одинаковых вещественных корня . Тогда общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид .

3. Если дискриминант характеристического уравнения , то уравнение имеет два комплексных корня. Пусть , где , . Тогда корни характеристического уравнения будут равны . Общее однородное решение исходного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в этом случае имеет вид

Замечание: характеристическое уравнение можно получать, делая следующие замены , , .

Пример 45

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения ,  следовательно, получаем случай 1.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет вид .

Пример 46

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения ,  (то есть квадратный трёхчлен является полным квадратом , ), следовательно,  получаем случай 2

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет вид .

Пример 47

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , , получим характеристическое уравнение . Дискриминант квадратного уравнения , тогда ,  – комплексные корни, следовательно, получаем случай 3 .

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет вид .

Пример 48

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда .

Решения уравнения ,  – различные вещественные корни, следовательно, получаем случай 1.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет вид

Пример 49

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда  или  – комплексные корни, следовательно, получаем случай 3.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет вид

Пример 50

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Решение

, заменим , , получим характеристическое уравнение , откуда  или ,  – различные вещественные корни, следовательно, получаем случай 1.

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  имеет вид

Список рекомендуемой литературы

1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. М.: Проспект, 2011.-608с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления.Т.1, М.: Интеграл-Пресс, 2007.-416с.

3. Бойцова Е.А. Практикум по математике: Учебное пособие. Старый Оскол: ТНТ, 2014. -160с.

4. Сборник задач по математике для втузов: В 4 частях: Ч.2 / Под общей ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. - М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 2009.-432с.

5. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.II. Учеб.пособие для втузов.  - М.: Высшая школа, 1996. - 304с., 416с.

6. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. T.1. M.: Высш. шк., 1973. 495 с.

7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. T.1. М.: 1971. 615 с.

8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1980. 464 с.

9. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа./Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. –М.:Наука, 1981.

10. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1976. 470 с.

11. Неопределённый интеграл. Приложения определённого интеграла. Дифференциальные уравнения [Электронный ресурс]: индивидуальные задания к выполнению модуля 5,6,7 для студентов специальности «Таможенное дело» / Юго-Зап. гос. ун-т; сост.: Бредихина О.А., Шеставина С.В. –Курск: ЮЗГУ, 2015. −24c.