Метод решения интегралов, содержащих квадратный трёхчлен в знаменателе (задание 4)

Решение

[таблица 1, формула №13^*]

Проверка

Решение

[таблица 1, формула №15]

Проверка

Решение

[таблица 1, формула №16]

Проверка

Определённый интеграл и его приложения

Основные понятия

Пусть на отрезке  задана функция . Разобьём этот отрезок на  частей точками . На каждом малом отрезке , где , выберём точку , найдём значение функции в этой точке  и составим сумму , где .

Сумма  называется интегральной суммой для функции  на .

Определённым интегралом от функции  на отрезке  называется предел интегральной суммы  при условии, что длина наибольшего частичного отрезка  стремится к нулю ,

где нижний предел интегрирования;

верхний предел интегрирования;

подынтегральная функция;

подынтегральное выражение.

Замечание: определённый интеграл есть число.

Свойства определённого интеграла

Свойства определённого интеграла аналогичны свойствам неопределённого интеграла. Дополнительные свойства:

1. , где ;

2. ;

3.

4. Пусть функция  непрерывна на , тогда существует по крайней мере одна точка  такая, что выполнено равенство . Здесь  называется средним значением функции.

Способы вычисления определённого интеграла:

1. Теорема Ньютона-Лейбница.

Пусть  непрерывна на отрезке  и  одна из её первообразных, тогда справедлива формула

Решение

2.Замена переменной.

 Необходимо вычислить интеграл , где  непрерывная функция на . Перейдем к новой переменной , полагая . Пусть , кроме того, при изменении  от  до  значения функции  не выходят за пределы отрезка . Предположим, что функция  непрерывно дифференцируема на промежутке , то справедлива следующая формула замены переменной .

Решение

3. Формула интегрирования по частям.

Пусть  и  - непрерывные функции вместе со своими первыми производными на , тогда справедлива формула интегрирования по частям

Решение

Вычисление площадей плоских фигур

(задание 5)

С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.