Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Пусть на отрезке  задана непрерывная функция , причём . Фигура, ограниченная сверху графиком , снизу – осью Оx, сбоку прямыми ,  (рис. 1а), называется криволинейной трапецией.

Геометрическим смыслом определённого интеграла являетсяплощадь криволинейной трапеции, вычисляемая по формуле

.

Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции , а сбоку прямыми ,  (рис 1.б), то её площадь вычисляется по формуле

.

Частным случаем при этом является нахождение площади фигуры, ограниченной сверху осью Оx, снизу – графиком функции , а сбоку прямыми ,  (рис 1.в). В этом случае, в предыдущую формулу следует подставлять , тогда формула для вычисления площади такой фигуры имеет вид

.

В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций (рис. 1г).

,   где , .

  а)                      б)                      в)                     г)

Рис. 1

Пример 25

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций , .

Решение

1. Вершиной параболы  является точка

2. Точки пересечения параболы и прямой находятся из системы

3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.

4. Сверху фигура ограничена прямой , значит , снизу – параболой, значит .

По графику видно, что , .

1способ: площадь полученной фигуры можно вычислить по формуле:

               Рис. 2

2 способ: полученная фигура симметрична, значит