Дифференциальные уравнения высших порядков

3.2.1 Дифференциальные уравнения вида

(задание 9)

Найти общее решение дифференциального уравнения второго рода, используя соответствующую замену.

Частным случаем дифференциальных уравнений вида  являются уравнения вида .

Для решения необходимо понизить порядок дифференциального уравнения, проинтегрировав правую и левую его части . Полученное уравнение необходимо снова проинтегрировать.

Пример 41

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

,

,

,

,

,

,

,

.

Дифференциальные уравнения вида  (или вида ) решаются с помощью замены , где новая неизвестная функция. Тогда . Исходное уравнение примет вид дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 42

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Пример 43

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение

,

 – уравнение Бернулли,

,

,

,

,                          ,                       

,                                ,                  

,                              ,

,                             ,

,                         ,

,                          ,

.                                 ,

                                           ,

                                            ,

                                           ,

                                            ,

                                         .

Так как , то общее решение уравнения Бернулли будет иметь вид  или .

Заменим  и получим , откуда . Найдём этот интеграл отдельно.

Таким образом, исходное дифференциальное уравнение имеет общее решение

3.2.2 Дифференциальные уравнения вида

(задание 10)

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения второго рода, используя соответствующую замену.

Дифференциальные уравнения вида  (или вида ) решаются с помощью замены , где новая неизвестная функция. Тогда . Исходное уравнение примет вид дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 44

Найти решение задачи Коши дифференциального уравнения , .

Решение

,

,

,

,                     или           ,                       

,                                       ,                  

,                                  ,

.                                       ,

                                                 ,

                                                 ,

,

,

.

Можно заметить, что случай  (когда ) является частным случаем дифференциального уравнения . Таким образом, мы получили одно общее решение исходного дифференциального уравнения. Для упрощения нахождения окончательного ответа, можно на данном этапе воспользоваться дополнительным условием задачи Коши, а именно . Подставим в уравнение  значения ,  и получим , откуда .

Теперь, воспользуемся подстановкой .

,

,

,

,

.

Заменим  и получим .

В полученное уравнение остаётся подставить дополнительное условие задачи Коши  (или  при ), то есть получим равенство , откуда найдём .

Итак, частное решение задачи Коши для искомого уравнения имеет вид .