Вычисление длины дуги кривой (задание 6)

Вычислить длину дуги кривой, заданной явно, или параметрически, или в полярных координатах, используя определенный интеграл.

Пусть функция  непрерывно дифференцируема на , тогда длина дуги кривой  на указанном промежутке вычисляется по формуле

                                .                               (1)

Если гладкая кривая задана в полярных координатах  и , то длина ее дуги равна

                       .                           (2)

Если кривая гладкая и задана параметрически, то длина дуги этой кривой при  вычисляется по формуле

                    .                               (3)

Пример 31

Вычислить длину дуги кривой  от  до .

Решение

Предварительно найдём .

Пример 32

Вычислить длину дуги кривой  от  до .

Решение

Предварительно найдём

.

Воспользовавшись формулой , получаем окончательный ответ

Пример 33

Вычислить длину дуги кривой  от  до .

Решение

Предварительно найдём .

Пример 34

Вычислить длину кривой

Решение

Предварительно найдём

Пределы интегрирования

Рис. 10

Дифференциальные уравнения

Всякое уравнение, содержащее по крайней мере одну производную неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением.

В общем виде дифференциальное уравнение можно записать в виде    где некоторая функция от  переменных, некоторая функция от , .

Порядок  старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения.

Если из уравнения в общем виде выразить в явном виде старшую производную, то получим уравнение вида  называемое уравнением, разрешённым относительно старшей производной.

Функция  называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки .

Обычно дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений. Для выделения из множества решений отдельного, называемого частным решением, необходимо задавать дополнительные условия в виде

Задача нахождения решения, удовлетворяющего дополнительным условиям, называется задачей Коши, а решение уравнения – решением задачи Коши.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно , имеет вид

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешённое относительно производной, можно также записать в дифференциальной форме  где известные функции.

Условие  называется начальным условием.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям:

- функция  является решением дифференциального уравнения при каждом фиксированным значении С;

- каково бы ни было начальное условие, можно найти такое значение постоянной , что функция , удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , полученная из общего решения  при конкретном значении постоянной .

Дифференциальные уравнения первого порядка