Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат

Возьмём на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведём луч Ох (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берётся радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:

1. числом  – полярный угол (он имеет положительное значение при повороте против часовой стрелки);

2. положительным числом  – полярный радиус.

Пара чисел  – это полярные координаты точки М.

Каждой паре значений  отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное .

                       а)                                                 б)

Рис. 6

Связь между полярными и прямоугольными координатами

Из треугольника OMK (рис. 6а) получаются следующие соотношения:

– переход из декартовой в полярную систему координат

, ;

– переход из полярной в декартову систему координат

, , .

Вычисление площади фигуры в полярной системе координат

Площадь сектора, ограниченного кривой , лучами , , где  (рис. 6б), находится по формуле .

Пример 28

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции .

Решение

Чтобы найти пределы интегрирования  и , необходимо построить график кривой  в полярных координатах. Результаты вычислений занесем в таблицу 3.

Таблица 3

	0
	0	10		0	-10	0		10	0
	-10		0	10	0		-10	0

По данным этой таблицы построим график функции, откуда видим, что площадь искомой фигуры .

Рис. 7

Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных линией, заданной параметрически

Пусть функция задана в виде системы

Правые части системы зависят от одного и того же аргумента . При одном и том же значении  получаем определённые значения  и . На плоскости это будет определённая точка .

Придавая  различные значения из областей определения  и , на плоскости получим множество точек, которые образуют график функции

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , , прямыми  и отрезком  оси Ох, то её площадь вычисляется по формуле

где  и  определяются из равенства

Пример 29

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Решение

Пример 30

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение

Рис. 9

Иными словами, необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху эллипсом, а снизу – прямой . Из графика видно, что . Найдём пределы интегрирования  и .

Нижний предел интегрирования  (точка М на графике) находится из системы уравнений

Итак,

Верхний предел интегрирования  (точка N на графике) находится из системы уравнений

Итак,

Предварительно найдём