Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат
Возьмём на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведём луч Ох (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берётся радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами: 1. числом – полярный угол (он имеет положительное значение при повороте против часовой стрелки); 2. положительным числом – полярный радиус. Пара чисел – это полярные координаты точки М. Каждой паре значений отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное .
а) б) Рис. 6 Связь между полярными и прямоугольными координатами Из треугольника OMK (рис. 6а) получаются следующие соотношения: – переход из декартовой в полярную систему координат , ; – переход из полярной в декартову систему координат , , . Вычисление площади фигуры в полярной системе координат Площадь сектора, ограниченного кривой , лучами , , где (рис. 6б), находится по формуле . Пример 28 Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции . Решение Чтобы найти пределы интегрирования и , необходимо построить график кривой в полярных координатах. Результаты вычислений занесем в таблицу 3. Таблица 3
По данным этой таблицы построим график функции, откуда видим, что площадь искомой фигуры .
Рис. 7 Вычисление площадей плоских фигур, ограниченных линией, заданной параметрически
Пусть функция задана в виде системы Правые части системы зависят от одного и того же аргумента . При одном и том же значении получаем определённые значения и . На плоскости это будет определённая точка . Придавая различные значения из областей определения и , на плоскости получим множество точек, которые образуют график функции Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрическими уравнениями , , прямыми и отрезком оси Ох, то её площадь вычисляется по формуле где и определяются из равенства Пример 29 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , Решение
Рис. 8 Иными словами, необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя арками циклоиды и прямой . Из графика видно, что . Найдём пределы интегрирования и . Нижний предел интегрирования (точка М на графике) находится из системы уравнений Итак, Верхний предел интегрирования (точка N на графике) находится из системы уравнений Итак, Предварительно найдём .
Пример 30 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , Решение Рис. 9 Иными словами, необходимо вычислить площадь фигуры, ограниченной сверху эллипсом, а снизу – прямой . Из графика видно, что . Найдём пределы интегрирования и . Нижний предел интегрирования (точка М на графике) находится из системы уравнений Итак, Верхний предел интегрирования (точка N на графике) находится из системы уравнений Итак, Предварительно найдём
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 261. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |