Метод замены переменной в неопределённом интеграле (задание 2)

Решение

[таблица 2, формула №3]

[таблица 1, формула №2]

Проверка

Решение

[таблица 2, формула №9]

[таблица 1, формула №2]

Проверка

Пример 9

Решение

Решение

[таблица 1, формула №5]

Проверка

Приём подведения под знак дифференциала есть частный случай замены переменной в неопределённом интеграле. Замена переменной под знаком интеграла может производиться в двух формах:

– в прямой, используя формулы , ;

– в обратной, используя формулы , .

Наиболее часто применяется обратная форма замены переменной.

Решение

[таблица, формула №3]  

Проверка

Прямую форму замены переменной чаще всего используют в случае, когда производная  является производной достаточно сложной функции и гораздо проще найти производную .

Решение

[таблица 1, формула №2]

Проверка

Метод интегрирования по частям (задание 3)

Найти интеграл, используя формулу интегрирования по частям, результат проверить дифференцированием.

Пусть  и  – функции, имеющие непрерывные первые производные на рассматриваемом интервале. Тогда справедлива формула интегрирования по частям: .

Данный метод применяется, если

1.Подынтегральная функция – это тригонометрическая или показательная функция, умноженная на какой-нибудь многочлен, то есть представляет собой произведение вида , , , , где многочлен степени . При этом, за  берётся .

Решение

 Проверка

Иногда формулу интегрирования по частям следует использовать несколько раз.

Решение

В процессе этого решения был найден следующий интеграл:

[таблица 1, формула №4^*]

Проверка

2.Подынтегральная функция – это обратная тригонометрическая функция, умноженная на какой-нибудь многочлен, то есть произведение вида , , , , либо логарифмическая функция, умноженная на какой-нибудь многочлен, то есть произведение вида , , , где многочлен степени .

При этом, за  берётся в первом случае обратная тригонометрическая, а во втором – логарифмическая функция.

Решение

[таблица 1, формулы №1 и №13^*]

Проверка

Замечание: случай, когда многочлен имеет нулевую степень не исключается.

Решение

[таблица 1, формула №1]

Проверка

3.Подынтегральная функция – это произведение показательной и тригонометрической функций, то есть произведение вида , , , . Здесь, дважды проинтегрировав по частям, приходим к линейному относительно исходного интеграла уравнению. Выразив из него интеграл, находим одну из первообразных.

При этом,  можно принимать как показательную, так и тригонометрическую функцию, однако, интегрируя по частям второй раз, за  нужно принимать соответственно первому разу показательную, либо тригонометрическую функцию.

Решение

.

После введения замены , получим уравнение, линейное относительно переменной . Решая его, находим значение одной из первообразных.

,

,

.

Таким образом, решение исходного интеграла примет вид

Проверка

Замечание: аналогичным способом можно решать интегралы с подынтегральной функцией вида ,  и т.п.

Решение

.

После введения замены , получим уравнение, линейное относительно переменной . Решая его, находим значение одной из первообразных.

,

,

.

Таким образом, решение исходного интеграла примет вид

Проверка