Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1. Дано уравнение

y²+  y¢ - 2 y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид:

k² + k - 2 = 0.

Находим корни характеристического уравнения:

, k₁ = 1 , k₂ = -2 .

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.

Пример 2. Дано уравнение

y² - 4 y¢ + 4 y = 0.

Характеристическое уравнение имеет вид: k² - 4k + 4 = 0 k₁ = k₂ = 2

Записываем общее решение

Пример 3. Дано уравнение

y² - 2 y¢ + 5 y = 0.

Напишем характеристическое уравнение:

k² + 2k + 5 = 0

k₁ = -1 + 2i

k₂ = -1 - 2i

Следовательно, общее решение имеет вид

Пример 4. Дано уравнение

y² + 9 y = 0.

Найти общее и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

y|x=0 = 0 ;     y¢ |x=0 = 3

Решение: напишем характеристическое уравнение

k² + 9 = 0

Находим корни

k₁ = 3i; k₂ = - 3i

Общее решение есть:

Найдем частное решение. Предварительно определим первую производную.

 Постоянные C₁ и C₂ определяются из начальных условий

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными. Нетрудно определить, что  C₁=0, C₂=1.

Следовательно частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:                                     y = sin 3x

Пример5. Дано уравнение

Найти общее и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

при .

Напишем характеристическое уравнение и найдем его корни

Корни действительные и равные, следовательно общее решение имеет вид

Найдем, исходя из начальных условий, С₁ и С₂

Следовательно, частное решение имеет вид

ГЛАВА 6. Применение дифференциальных уравнений для исследования колебательных процессов

Состояние динамических систем вблизи положения равновесия

Дифференциальные уравнения второго порядка используются во многих областях естествознания.

Остановимся на рассмотрении движения динамических систем вблизи положения равновесия, т.е. на колебаниях. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими.

Ограничим наше рассмотрение только случаем свободных колебаний без учета сил трения и внешнего воздействия.