Линейное однородное дифференциальное уравнение

Определение 16. Уравнение вида

 y²+ p y¢ +q y = 0, где

p и q постоянные действительные числа, а y - функция переменной x называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка.

Пример 3.          y²- 5 y¢ +6 y = 0, где p = -5 , q = 6.

Определение 17. Решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является функция

y =C₁ y₁ + C₂ y₂ ,

 при условии, что функции y₁  и y₂ -

1) частные решения данного дифференциального уравнения
2) y₁ ¹ k y₂, где k = const, т.е. эти функции не пропорциональны.

Итак, пусть мы имеем однородное уравнение второго порядка

y²+ p y¢ +q y = 0           (1)

Чтобы найти общее решение, как было сказано выше, надо определить два линейно независимых частных решения.

Будем искать частные решения в виде:

y = e ^kx, где k = const,

тогда :                                      y¢ = k e ^kx ; y²= k²e ^kx  (2)

Подставим полученные выражения (2) в наше дифференциальное уравнение (1):

k²e ^kx + p k e ^kx +q e ^kx = 0  (3)

Вынесем e ^kx за скобки:

e ^kx ( k² + p k + q ) = 0        (4)

Из (4) следует, что, если e ^kx не равно 0, то уравнение равно 0 когда:

k² + p k + q = 0                   (5)

Полученное квадратное уравнение (5) называется характеристическим уравнением по отношению к данному дифференциальному уравнению.

Рассматривая пример 3, где y²- 5 y¢ +6 y = 0, характеристическое квадратное уравнение имеет вид: k² - 5 k + 6 = 0.

Характеристическое квадратное уравнение имеет два корня k₁ и k₂.

,   

Возможны следующие случаи:

I. k₁ и k₂ - действительные и притом не равные между собой числа, т.е. k₁ ¹ k₂.

II. k₁ = k₂ - действительные равные числа.

III. k₁ и k₂ - комплексные числа.

IV. k₁ и k₂ - мнимые числа.

Подводя итог выше изложенному, можно написать алгоритм решения линейного однородного дифференциального уравнения, который сводится к следующему.

Алгоритм решения дифференциального уравнения

Если дано дифференциальное уравнение вида

y²+ p y¢ +q y = 0,

необходимо:

1. Написать характеристическое квадратное уравнение

k² + p k + q = 0

2. Найти корни этого уравнения

,   

3. Записать общее решение данного дифференциального уравнения в виде:

, еслиk₁¹k₂- действительные

, еслиk₁=k₂- действительные

, если корни комплексныеk_1,2 = a ± ib

, если корни мнимыеk_1,2 = ± ib

4. Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, если таковые заданы.