ГЛАВА 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины

Задача 1. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий, имеющихся в наличии в рассматриваемый момент времени t. Количество бактерий утроилось в течение 5 часов. Найти зависимость числа бактерий от времени.

Решение. Обозначим количество бактерий в момент времени t через x, тогда  - скорость размножения бактерий.

По условию задачи  - уравнение с разделяющимися переменными.

Потенцируем последнее выражение и получаем общее решение нашего дифференциального уравнения.

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям

При t=0, x=x₀ -частное решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти искомую зависимость, определим коэффициент пропорциональности k. По условию задачи известно, что через 5 часов .

Таким образом

Прологарифмируем последнее выражение

Окончательно получаем

Задача 2. При прохождении света через вещество происходит ослабление интенсивности светового потока, вследствие превращения световой энергии в другие виды энергии, т.е. происходит поглощение света веществом. Найти закон поглощения, если известно, что ослабление интенсивности пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего излучения.

Решение. Исходя из условия задачи, можно сразу написать дифференциальное уравнение

 ,

 где dI -ослабление интенсивности при прохождении слоя толщиной dx.

k -коэффициент пропорциональности.

Знак минус показывает, что интенсивность падает по мере прохождения слоя.

Проинтегрируем наше уравнение, предварительно разделив переменные

Исходя из того, что падающий на поверхность вещества свет имел интенсивность I=I_{0 ,}   при x=0, найдем частное решение

Итак, мы получили закон поглощения света веществом ( закон Бугера), где
k -натуральный показатель поглощения.

Задача 3. Известно, что механические свойства биологических объектов изучаются с помощью вязкоупругих моделей (поршень - пружина). Одной из найболее распространенных является модель Кельвина - Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня (см. рис.1).

Рис. 4. Модель Кельвина - Фойхта

Найти зависимость деформации от времени , если к модели приложена постоянная нагрузка.

Решение. Согласно условию задачи , и учитывая также, что при малых деформациях выполняется закон Гука, т.е. , а механическое напряжение, возникающее в вязкой среде пропорционально скорости деформации, т.е. , мы можем написать дифференциальное уравнение.

, или

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и , мы будем иметь сразу частное решение.

Потенцируя последнее выражение, получаем

Находим отсюда

Как видно из полученной формулы, в рамках модели Кельвина - Фойхта деформация при постоянной нагрузке возрастает с течением времени. Это соответствует реальным материалам. Такое свойство материала названо текучестью.