ГЛАВА 4. Краткое введение в теорию комплексных чисел

При решении квадратных уравнений вида:

,

появилась необходимость введения нового числа

Если обозначить , то мы имеем решение такого уравнения, где корни:   и .

Эти числа, содержащие , умноженные на действительное число, называются мнимыми числами. Иначе говоря, наше уравнение имеет два мнимых корня.

Комплексным числом Z называется выражение

,

где a и b - действительные числа, причем если:

1) , то  - мнимое число;

2) , то  - действительное число.

Два комплексных числа   и , отличающиеся только знаком мнимой части называются сопряженными.

Действительное число , называется модулем комплексного числа . Очевидно, что модули сопряженных комплексных чисел равны.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости  в виде точки  с координатами  и .

Точкам, лежащим на оси , соответствуют действительные числа . Точки, лежащие на оси , изображают чисто мнимые числа .

Соединив точку  с началом координат, получим вектор 0A, который можно считать геометрическим изображением комплексного числа.

Из рисунка видно, что

и, следовательно, комплексное число можно представить в форме

,

которая называется тригонометрической формой записи комплексного числа, где                    -модуль комплексного числа;

                      -аргумент комплексного числа.

Все основные действия (сложение, умножение, деление, возведение в степень) над комплексными числами производятся по правилам действий над алгебраическим двучленом с учетом того, что

.

Например:

Если каждому значению комплексного переменного Z из некоторой области комплексных значений соответствует определенное значение другой комплексной величины u то u есть функция комплексного переменного т.е. u=f(Z).

Рассмотрим одну функцию комплексного переменного - показательную функцию

Комплексные значения функции u определяются так:

Если в этой формуле x=0, то получим

Это есть формула Эйлера, выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции.

ГЛАВА 5. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 15. Уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные первого y¢ и второго y² порядков называется уравнением второго порядка.

F(x, y, y¢, y² )=0.