Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Рассмотрим уравнение вида:

M(x)dx + N(y)dy = 0,             (1)

называемое уравнением с разделенными переменными.

Общим решением или интегралом будет :

                                        òM(x)dx + òN(y)dy = C

Пример 1. Дано уравнение с разделенными переменными:

xdx + ydy = 0 ;

интегрируя, получим:

òx dx + òy dy = C₁ ;  

Так как левая часть равенства неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна. Обозначив 2C₁ = C ², будем иметь:

x² + y² = C ² ;

Общее решение представляет собой уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом C.

Уравнение вида

M₁(x)N₁(y)dx + M₂(x)N₂(y)dy = 0,             (2)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления общих частей на выражение M₂(x)N₁(y):

 ,

т.е. к уравнению (1).

Замечание: Эти преобразования можно производить только в той области, где M₂(x) и N₁(y) не обращаются в нуль.

Пример 2. Дано уравнение:

Разделяем переменные

Интегрируя, находим:

ln y = - ln x + ln C

Отсюда получаем общее решение:

.

Итак, мы получили множество функций, которые являются решением данного дифференциального уравнения.